Teorema de inversare locala

Teorema de inversare locala

In cele ce urmeaza vom introduce o notiune de mare importanta si utilitate si anume notiunea de transformare regulate(difeomorfism), dupa care vom demonstra 2 rezultate fundamentale ale analizei matematice, strans legate intre ele: teorema de inversare locala si teorema functiilor implicite.

Definitia8

Fie D un deschis din Rⁿ, Δ un deschis din R^m si F:DΔ.Spunem ca F este o transformare punctuala de la D la Δ daca F este de clasa C ¹ pe D.

Definitia9

Fie f:DR, unde D este un deschis din Rⁿ.

a) Spunem ca f este derivabila partial pe D daca f este derivabila partial in orice punct aD in raport cu toate variabilele x_k.In acest caz, se pot defini n functii :DR, k= numite derivate partiale ale lui f pe D.

b) Spunem ca f este de clasa C¹ pe D daca f este derivabila partial pe D iar functiile cu k= sunt continue pe D. Notam: fC¹(D)

Exemple

1) aplicatie liniara F:RⁿR^m este transformare punctuala

2) Fie F:RⁿRⁿ , definite prinF(x)=I_Rⁿ (x)+c, xRⁿ , cRⁿ

I_Rⁿ =aplicatia identical in Rⁿ

I_Rⁿ =aplicatie de clasa C¹ pe Rⁿ

F=clasa C¹ pe Rⁿ F este transformare punctuala de la Rⁿ la Rⁿ .

Definitia10

Fie D si doi deschisi din Rⁿ si F:D bijectiva.Spunem ca F este o transformare regulata (difeomorfism) sau un izomorfism diferentiabil daca f este de clasa C¹ pe D iar F^-1 este de clasa C¹ pe

Teorema16(de caracterizare)

Fie D si doi deschisi din Rⁿ si F:D o aplicatie bijectiva a.i. FC¹(D) .

Atunci F este un difeomorfism pentru aD, diferentiala dF(a):RⁿRⁿ este izomorfism liniar si F^-1 este continua.

Dem.

Fie a D si b=F(a)

Sa pp ca F=difeomorfism FC ¹(D)

F^-1 C¹( conform criteriului de diferentiabilitate F^-1 =diferentiabila pe F^-1 =continua pe

Dar FF^-1=I_Rⁿ si F^-1F=I_Rⁿ

Aplicand teorema de compunere a functiilor diferentiabile (1) J_F(a)·J_F-1(F(a))=E_n , E_n =matricea unitate de ordin n.

J_F-1(F(a))·J_F(a)= E_n

Din (1) obtinem J_F(a) - matrice nesingulara si in plus

(2) J_F-1(F(a))=[J_F(a)]^-1

Reciproc

Sa pp ca aD, diferentiala dF(a) este un izomorfism si, F^-1 este continua.

Pentru a demonstra ca F=difeomorfism, vom arata ca finctia G=F^-1 estede clasa C¹ pe

G-diferentiala in orice punct b

Fie bD si a=G(b), adica b=F(a).

Intrucat F-diferentiabila in a, () T=dF(a):RⁿRⁿ si :DRⁿ a.i. F(x)=F(a)+T(x-a)+||x-a||, xD, unde

Notam: J=F(x) J-b=T(x-a)+||x-a||, xD.

Conform ipotezei T-inversabil aplicand T^-1 in ultima relatie obtinem:

T^-1(y-b)=x-a+T^-1()||x-a||, xD

(3) x-a=T^-1(y-b)-T^-1()||x-a||, xD

T^-1=operator liniar continuu () >0 a.i. ||T^-1(y-b)||≤||y-b||

Aplicand norma in relatia (3)

||x-a||≤||T^-1(y-b)||+||x-a||·||T^-1 ()||≤||y-b||+||T^-1 ||·||x-a|| ,xD.

Daca yb se vede ca:

+||T^-1( xD

Sau

xD, adica raportul este marginit intr-o vecunatate a lui b.

Din relatia (3) , yb

Cum F^-1=continua yb xa T^-1() =0 ( , adica G-diferentiabila in b si in plus

T=operator continuu

dG(b)=T^-1=[dF(a)]^-1

b este arbitrar G-diferentiabila pe D. Cf.Th.(11.2.5) G este derivabila partial pe D.

Sa aratam ca derivatela partiale ale lui G sunt continue pe D.

Observam ca in relatia (2) s-a utilizat numai diferentiabilitatea functiilor F si F^-1 . Aplicam aceasta relatie perechii de functii F,G in orice punct xD, avem:

J_G(F(x)=[J_F(x)]^-1 .

Dar determinantul J_F(x) pentru orice xD si cum elementul lui J_F(x)=functii continue(FC¹(D) f_iC¹(D), i= , f_i componentele lui F ) elementele matricii J_G(F(x)) continue in x, ceea ce antreneaza ca:toate derivatele partiale ale lui G in punctual y=F(x) continue in orice xD F^-1 C¹(D).

Exemplu

Fie D un deschis din Rⁿ iar F:DRⁿ o functie diferentiabila pe D .Sa pp ca x₀ D si ca F(x₀)=y₀(4)

Cum x₀ este punct interior lui D ()S(x₀,r)D.

Se pun urmatoarele intrebari?

1)Poate fi oare rezolvata ecuatia F(x)=y in raport cu xS(x₀,r)pentru orice yRⁿ sau macar pentru y dintr-o multime precizata?

2)Daca () o asemenea solutie y= a ecuatiei f(x)=y este oare ea unica?

3)Daca () functia , in ce conditii aceasta solutie este diferentiabila?

Ex

Fie functia f:RR, definite prin f(x)=x² f(0)=0 in relatia (4) x₀=0=y₀

Daca y<0 ecuatia f(x)=y nu are nici o solutie

Daca y>0 observam ca pentru x dintr-o vecinatate a lui 0 ecuatia y=x² are 2 solutii, deci ecuatia f(x)=y admite solutii, dar aceasta nu este unica.

Observam ca daca y>0 si x₀>0 putem indica o vecinatate (x₀-, x₀+) a punctului x₀ a.i. ecuatia f(x)=y , adica y=x² sa aiba o singura solutie x=in vecinatatea (x₀-, x₀+).In plus, aceasta solutie este si derivabila pe multimea (x₀-, x₀+).Aceste exemple arata ca, daca nu intotdeauna putem rezolva problema propusa pe intreaga multime de definitie a functiei, totusi, ea poate fi rezolvata macar local, in anumite situatii.

Lema1

Fie x₀Rⁿ, T(x₀,r)-sfera inchisa de centru x₀ si de raza r din Rⁿ si F: T(x₀,r)Rⁿ .Daca functia =F(x)-x, x T(x₀,r) este o contractie de constanta k, atunci () o vecinatate deschisa V a punctului x₀ a.i. V T(x₀,r) iar restrictia lui F la V sa defineasca un homeomorfism intre functia F|_V este lipschitzina de constanta1/(1-k)

Dem.

fie yS(y₀,(1-k)r).Se observa ca functia H(x)=y- xT(x₀,r) este tot o contractie de constanta k si transforma multimea T(x₀,r) in ea insasi.

||H(x)-H(x')||=||y--y+(x')||=|| (x')||≤k||x-x'||, x,x' T(x₀,r), ceea ce spune ca H=contractie iar daca x T(x₀,r), adica ||x-x₀||≤r, avem:

||H(x)-x₀||=||y-(x)-x₀||=||y-F(x₀)+F(x₀)-(x)-x₀||≤||y-y₀||+||(x₀)-(x)||≤(1-k)r+kr=r, ceea ce spune ca H(x) T(x₀,r), x T(x₀,r)

Cum T(x₀,r) este multime inchisa in spatiul metric complet Rⁿ T(x₀,r) subspatiu complet.

Atunci functia H satisface ipoteza principala de punct fix al lui Banach.Deci pentru fiecare yS(y₀,(1-k)r) ()un punct unic x_y T(x₀,r) a.i. y=(x)=x_y sau y=F(x_y).

Fie V=F^-1(S(y_o,(1-k)r)).Atunci F|_V bijectiva intre V si S(y₀,(1-k)r)

=contractie, es este functie continua F=-I_Rn=continua.

Cum S(y₀,(1-k)r) -deschisa si F -continua V-deschisa

Fie G inverse restrictiei lui F la V.

G -lipschitziana de constanta 1/(1-k) pe S(y₀,(1-k)r)

In adevar

||G(y₁)-G(y₂)||=||x₁-x₂||≤||x₁-F(x₁)-x₂+F(x₂)||+||F(x₁)-F(x₂)||=||(x₂)-(x₁)||+||y₁-y₂||≤k||x₁-x₂||+||y₁-y₂||=k||G(y₁)-G(y₂)||+||y₁-y₂||,

y₁,y₂ S(y₀,(1-k)r), adica G este lipschitziana deconstanta 1/(1-k).

Prin urmare G=continua si atunci functia F|_V:V S(y₀,(1-k)r) - homeomorfism.

Teorema17 (th de inversare locala)

Fie D un deschis din Rⁿ, F:DRⁿ functie de clasa C¹ pe D si aD.Daca dF(a):RⁿRⁿ -operator liniar invresabil, atunci () o vecinatate deschisa VD a lui a a.i. F(V)=deschis din Rⁿ iar F sa stabileasca un difeomorfism intre v si F(V)

Dem.

Fara a micsora generalitatea rezultatului pp a=0 si b=F(a)=0.(in caz contrar, consideram translatiile de vector a si b=F(a) -difeomorfism, =x-a,

=y-b si functia G()=F(+a)-F(a) atunci G satisface cond th si in plus G(0)=F(a)-F(a)=0)

Pp si ca dF(0)= I_Rn , intrucat daca T=dF(0)+ I_Rn , putem considera functia

(5) H=T^-1 F pentru care H(0)=T^-1(F(0))=T^-1(0)=0 si care este diferntiabila in virtutea th de compunere a functiilor diferentiabile.

Cf. th.11.2.7. si 11.1.7 relatia dH(0)=dT^-1(F(0))dF(0)=dT^-1(0)T=T^-1 T= I_Rn

Daca pp ca th are loc pt H atunci va ()o vecinatate deschisa a originii, VD, a.i. restrictia lui H la V -bijectie intre V si H(V) iar H^-1 C¹(H(V)), adica H|_V - difeomorfism (5) TH=TT^-1F=F, adica restrictia lui F la V este difeomorfism intre V si F(V) th. Este adevarata si pt F.

Pp a=0, b=F(0) si dF(0)= I_Rn

Fie functia :DRⁿ definite prin:

(6) (x)=F(x)-x, xD

Cum FC¹(D) C¹(D)

In plus (0)=0,d(0)=dF(0)- I_Rn= I_Rn- I_Rn=0

Vom arata, in continuare , ca ()r>0 a.i. functia - contractie pe o sfera inchisa T(0,r)D.

Deoarece C¹(D), iar derivatele partiale ale functiilor componente ale lui =() sunt nule I origine, () o vecinatate U a originii a.i. functiil (), k=sa verifica inegalitatea||d(t)||<, tU, k=

Aplicam th de medie

||(x')-(x'')||< ||x'-x''||, x',x''U

(7) ||(x')-(x'')||=² ≤||x'-x''||, x',x''U

Vom allege un r>0 a.i. T(0,r)U

Din (7) se observa ca -contractie pentru U este contractie si pe T(0,r) de constanta k=1/2

Deoarece - contractie, functia F:T(0,r)Rⁿ satisface conditiile lemei ) o vecinatate deschisa U₁ a punctului 0 a.i. U₁T(0,r) iar restrictia lui F la U₁ este un homeomorfism intre U₁ si sfera deschisa S(0,(1-1/2)r)=S(0,r/2).

Observam ca F|_U1 - bijectie intre U₁ si F(U₁), este de clasa C¹ pe U₁ iar inversa functiei F|_U1 - continua pe S(0,r/2), fiind homeomorfism.

Intrucat matricea jacobiana J_F - nesingulara in origine, operatorul T=dF(0) -fiind inversabil, iar elementele sale fiind functii continue.

FC¹(D) J_F - matrice nesingulara pe o vecinatate deschisa V a originii cu VU₁

F|_V - bijectie intre V si F(V), F(V) -deschis din Rⁿ (F - homeomorfism)

FC¹(V), F^-1 - continua iar matricea J_F(x) - nesingulara pentru xV.

Cf. th.11.4.3 F|_V - difeomorfism intre V si F(V).

Corolar7

Fie F:DRⁿ o aplicatie de clasa C¹ pe deschisul D din Rⁿ a.i. matricea jacobiana J_F(x) - nesingulara in orice xD.Atunci F=este o aplicatie deschisa, adica transforma deschisi in deschisi.

Dem.

Fie A un deschis din D si fie y₀ F(A).Atunci () x₀ A a.i. F(x₀)=y₀

Cf. th. De inversare locala aplicata pe multimea A, () VV (x₀) a.i. VA si F(V) sa fie deschisa.

Din th. 11.2.11 conditia ca matricea J_F(x) sa fie nesingulara in xD dF(x) - izomorfism liniar.

Dar y₀ F(V)F(A) F(A) - vecinatate pentru y₀ si cum y₀ -arbitrar in F(A) F(A) - multime deschisa.

Corolar8

Fie f_i:DR, i=, n functii de clasa C¹ pe deschisul D din Rⁿ .Daca ()un punct a D a.i. pentru y=(y₁,y₂,.,y_n)U

Sistemul de ecuatii are solutie unica intr-o vecinatate a punctului a

Dem.

Fie functia vectoriala F:DRⁿ ale carei componente sunt functiile date f₁,f₂,.,f_n.

Observam ca F satisface conditiile din th de inversare locala si atunci () o vecinatate deschisa V a punctului a a.i. VD si F - difeomorfism intre V si F(V)=U.

Multimea U satisface conditiile cerute de probleme intrucat pentru orice y=(y₁,y₂,.,y_n)U ecuatia F(x)=y are solutia unica xV.

Functii implicite

Fie f:ER o functie definite pe ER² si fie ecuatia

(8) f(x,y)=0

pp. ca f(x₀,y₀)=0, unde (x₀,y₀)- punct din E.

se pune problema relatia (8) poate fi rezolvata in raport cu y, adica daca () o functie definite pe o multime VV(x₀), x₀R a.i. y=(x) si f(x,(x))=0, xV.

mai mult am dori ca aceasta solutie sa fie unica si sa fie o functie diferentiabila.

O asemenea solutie y=(x) se numeste functie implicita pentru ca relatia(8) il determinam pe y in functie de x fara insa a aparea o formula explicita.

Ex.

Fie functia f(x,y)=x²+y²-1

Daca consideram punctual (1,0) f(x,y)=0 x²+y²-1=0 y²=1-x² y=

Observam ca problema nu are solutie unica in jurul punctului (1,0).

y=(x) y= y'= nu este derivabila in x₀=1

Daca consideram punctual () f()=1/2+1/2-1=0

Iar

)=2· pot indica o vecinatate a punctului x₀=a.i. solutia y= sa fie unic determinat.

Mai mult, pe o asemenea vgecinatate y=(x)= - derivabila

Teorema18 (th. Functiilor implicite)

Fie D un deschis din RⁿR^m, f:DR^m o functie vectoriala de componente (f₁,f₂,..,f_m) si (x₀,y₀)D.

Daca sunt indeplinite conditiile:

1.f(x₀,y₀)=0

2.fC¹(D)

3.

Atunci () o vecinatate deschisa I a punctului x₀ in Rⁿ, o vecinatate deschisa J a punctului y₀ in R^m si a functiei :Ij a.i.

I.         f(x,(x))=0, xI

II.       f(x,y)=0 pentru (x,y)IJ y=(x)

III.      - diferentiabila pe I

Dem.

Definim urmatoarea functie F:DRⁿR^m prin egalitatea:

(9) F(x,y)=(x,f(x,y)), (x,y) D.

Atunci

J_F(x₀,y₀)=

det J_F(x₀,y₀)=0

Se observa ca F satisface conditia th. De inversare locala (FC¹(D), J_F(x₀,y₀) -nesingulara ) () o vecinatate deschisa UV(x₀,y₀) a.i. UD

() o vecinatate deschisa W₁ =F(U) a punctului F(x₀,y₀)=(x₀,f(x₀,y₀))=(x₀,0) a.i. F difeomorfism intre U si W₁ .

Fara a micsora generalitatea, putem pp ca U este de forma I₀ J,

unde I₀ - deschis din Rⁿ ce contine x₀J - deschis din Rⁿ ce contine y₀

Daca notam cu I= observam ca

I - vecinatate deschisa a punctului x₀ , II₀ iar F(IJ)=W - vecinatate deschis a punctului (x₀,0)

Fie G - inversa restrictiei lui F la IJ, din cele de mai sus G - diferentiabila pe W.

G=(g₁,g₂), unde g₁:WRⁿ in care g₁(x,y)=x, (x,y)W iarg₂:WR^m g₂ - functie diferentiabila pe W.

Fie :RⁿR^m R^m functie definite prin: (x,y)=y, xRⁿ

yRⁿ

Se observa ca F=f f(x,g₂(x,y))=(fG)(x,y)=(FG)(x,y)=(x,y)=y

In particular f(x,g₂(x,0))=0(10)

Daca se considera functia :IJ definita prin (x)=g₂(x,0), xI atunci aceasta corespunde problemei

Din (10) f(x,(x))=0, xI (I)

Daca f(x,y)=0 cu (x,y)IJ F(x,y)=(x,f(x,y))=(x,0), (x,y) IJ

Aplicand G avem:

(GF)(x,y)=G(x,0)=(x,g₂(x,0))=(x,(x)), adica (x,y)=(x,(x)) y= (II)

Observam ca , in particular y₀=(x₀)

In sfarsit, cum g₂ - diferentiabila (x)=g₂(x,0), xI -diferentiabila (III)

Cazuri particulare

1)Daca D - deschis din R² , f:DR, (x₀,y₀)D si sunt indeplinite conditiile:

1)f(x₀,y₀)=0

2)fC¹(D)

3)( x₀,y₀)0

Atunci () o vecinatate deschisa I a punctului x₀R, o vecinatate deschisa J a punctului y₀ R si o functie :IJ a.i.

I)f(x,(x))=0, xI

II)f(x,y)=0 , (x,y)IJ

III) - derivabila pe I

IV) (x₀)=y₀

Pentru a calcula derivate lui vom deriva identitatea in raport cu x

(11)f((x,(x))=0, I

Utilizam regula de derivare a functiilor compuse

(12) ·=0

'(x)= , x I₁ I in care I₁ =

2) Daca D este un deschis din R²R iar f:DR satisface conditia din th. Precedenta atunci relatia f(x,y,z)=0, vom putea gasi local pe z functie de x si y.

F(x,y,z(x,y))=0

Derivam in raport cu x si y derivatele partiale ale functiei z in raport cu x si y.

(13) =0

Si

(14) =0

Ex.

Sa se arate ca sistemul de ecuatii

(*)

determina in mod unic u si v ca functii de x,y,z intr-o vecinatate a punctului (u,v,x,y,z)=(0,1,3,3,-3) si s a se gaseasca

Fie functia vectoriala F(u,v,x,y,z)=(f₁(u,v,x,y,z),f₂(u,v,x,y,z)), de unde f₁(u,v,x,y,z)=x²u²+xzv+y², iar f₂(u,v,x,y,z)=yzu+xyv²-3x;

F:R²R³R² si FC¹(R²R³), intrucat evident functiile f₁,f₂ sunt de clasa C¹ pe R²R³. Se vede ca F(0,1,3,3,-3)=(0,0). Sa calculam

Cum , , , obtinem

=-810

Conform teoremei functiilor implicite, u si v pot fi determinati in mod unic in raport cu x,y,z intr-o vecinatate a punctului (0,1,3,3,-3).

Pentru a obtine derivatele lor partiale vom tine seama de teorema lantului(teorema de diferentiere compusa).

Atunci, dericand in raport cu x cele doua ecuatii ale sistemului (*) si, tinand seama ca u si v sunt functii de x, obtinem:

Utilizand regula lui Cramer, avem

In acelasi mod, derivand succesiv cele doua relatii din (**) in raport cu y si cu z, se obtin derivatele partiale si respective