|
|
|
FUNCTII
Notiunea de functie
Vom trece succint in revista elementele teoretice, studiate in anul precedent, legate de conceptul de functie.
Definitie:
Fie doua multimi nevide A si B. Spunem ca am definit o
functie pe multimea A cu valori in multimea B daca
printr-un procedeu oarecare facem ca fiecarui
element 
sa-i
corespunda un singur element 
O
functie definita pe A cu valori in B se noteaza 
sau 
. Uneori o functie se noteaza simbolic 
, 
, unde y este imaginea elementului x din A prin functia
f.
In loc de functie se utilizeaza si termenul de aplicatie.
Trei elemente definesc o functie:
O functie se numeste numerica daca 
.
Graficul unei functii
Fie o functie.
Definitie: Se numeste graficul functiei f multimea de cupluri.
Este usor de vazut ca 
Daca f este o functie numerica,
atunci
.
Cum 
se poate reprezenta
geometric prin planul raportat la un reper cartezian, inseamna ca
graficul unei functii numerice se reprezinta geometric printr-o
submultime a planului. Numim aceasta submultime reprezentarea
geometrica a graficului functiei f sau pe scurt (prin abuz de limbaj)
graficul functiei f.
Functii egale
Definitie: Fie
doua functii.
Spunem ca functiile f,g sunt egale (si scriem f=g) daca:
1) A=C (domeniile lor sunt egale);
2) B=D (codomeniile lor sunt egale);
3)
(punctual functiile
coincid)
Operatii cu functii
Fie A o multime nevida si 
, doua functii reale.
Definitie:
1)
Functia 
se numeste suma
dintre functia f si functia g.
2)
Functia 
definita prin 
se numeste
produsul functiilor f,g.
3)
Functia 
definita prin
, unde 
se numeste catul
dintre functia f si functia g.
Fie acum si 
.
Definitie: Functia 
definita prin 
se numeste
compusa lui g cu f.
Compunerea functiilor este asociativa, adica 
astfel incat sa
aiba sens compunerea lor.
In
general compunerea functiilor nu este comutativa, adica nu
pentru orice f,g doua functii pentru care are sens 
si 
, 
.
Functia identica a unei multimi
Fie A o multime.
Definitie:
Functia 
definita prin 
, se numeste aplicatia identica a
multimii A.
Daca
este o functie oarecare, atunci 
, iar daca 
este o functie oarecare atunci 
. Daca notam 
atunci 
In
acest ultim caz spunem ca 
este element neutru in
raport cu operatia de compunere a functiilor din 
(Rol similar jucat de
numarul 0 pentru adunarea numerelor reale sau numarul 1 pentru
operatia de inmultire a numerelor reale).
Imaginea si preimaginea unei functii
Fie o functie.
Definitie:
Se numeste imaginea functiei f multimea notata 
si egala cu 
Uneori in loc de se scrie 
. Se numeste preimaginea functie f multimea
notata 
Daca
atunci multimea elementelor 
care sunt imaginea prin f a cel putin unui element x din
se numeste
imaginea multimii prin f si se
noteaza cu 
Deci
.
Daca
, atunci notam prin 
(citim: f la minus 1 din 
) multimea 
care se numeste imaginea reciproca a multimii prin f.
Prezentam in continuare imaginile unor functii:
E: Fie 
Sa se determine .
R. Avem 
Din 
rezulta 
si deci 
.
Cum 
Deci 
Mai jos este redat graficul functiei f:
Pe axa Ox am marcat mai accentuat segmentul 
care este domeniul de definitie pentru functie, iar
pe axa Oy am accentuat segmentul care este .
E: Fie 
Sa se determine
R. Fie 
Deci exista 
astfel incat , adica 
. De aici 
si 
. Cum 
se disting doua cazuri:
1) 
2) 
Prin urmare daca 
atunci 
. Deci 
. Graficul functiei este prezentat mai jos.
E: Se considera functia 
Se cere 
R. Fie Deci exista 
astfel incat , adica 
. De aici 
. Cum 
rezulta 
. De aici si rezulta
Asadar 
Graficul functiei este ilustrat mai jos.
Probleme propuse
Determinati pentru urmatoarele functii:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
Prelungirea si restrictia unei functii
Daca si 
sunt doua
functii cu proprietatile:
1) 
2) 
atunci f se numeste
prelungirea functiei g la A, in timp ce g este numita restrictia
lui f la .
Functii monotone
Fie 
, o functie de variabila reala si 
Definitie:
1) Spunem ca functia f este strict crescatoare pe I daca:
(Spunem ca functia f strict crescatoare "conserva" relatia de ordine dintre argumente si pentru valorile functiei in aceste puncte)
2) Spunem ca functia f este strict descrescatoare pe I daca:
(Spunem ca functia f strict descrescatoare "schimba" relatia de ordine dintre argumente pentru valorile functiei)
O functie f strict crescatoare pe I sau strict descrescatoare pe I se numeste strict monotona pe I.
Definitie:
1) Spunem ca functia f este crescatoare pe I daca:
2) Spunem ca functia f este descrescatoare pe I daca:
O functie f crescatoare pe I sau descrescatoare pe I se numeste monotona pe I.
Daca f este strict monotona (sau monotona) pe A (pe tot domeniul de definitie) spunem simplu ca functia f este strict monotona (sau monotona) fara a mai indica multimea.
A studia monotonia unei functii 
revine la a preciza
submultimile lui A pe care f este strict crescatoare (sau
crescatoare) si submultimile lui A pe care f este strict
descrescatoare (sau crescatoare).
Pentru studiul monotoniei unei functii
numerice , s-a utilizat raportul 
, numit raportul de variatie asociat functiei f
si argumentelor 
Diferenta 
se numeste
variatia argumentului, iar diferenta 
se numeste variatia functiei. Prin urmare
raportul de variatie asociat lui f si numerelor 
este raportul dintre
variatia functiei si variatia argumentului.
Are loc urmatoarea:
Teorema: Fieo functie numerica si 
. Atunci:
1)
f este strict crescatoare (crescatoare) pe
I 
2)
f este strict descrescatoare (descrescatoare) pe
I
Functiile studiate anul trecut au fost (din tabelul de valori se extrag usor intervalele de monotonie: in dreapta tabelului am indicat forma graficului):
1)
Functia de
gradul intai:
. Daca 
atunci f este strict crescatoare si am indicat
aceasta situatie in tabelul de valori astfel:
Daca 
atunci f este strict
descrescatoare si s-a indicat aceasta situatie in tabelul
de valori astfel:
2)
Functia de
gradul al doilea:
. Intervalele de monotonie ale acestei functii sunt: 
. Daca atunci monotonia lui f este indicata in tabelul de
valori:
Daca atunci tabelul de valori are forma:
3)
Functia
putere cu exponent natural: 
. Daca n este par, atunci tabelul de valori are forma:
Daca n este impar, 
atunci tabelul de valori are forma:
4) Functia radical de ordin n:
Daca n este par atunci functia
are tabelul de valori:
Daca n este impar atunci functia
are tabelul de valori:
5)
Functia
sinus, notata 
este o functie
periodica de perioada principala 
. Este suficient sa studiem monotonia acestei
functii pe un interval de lungimea unei perioade principale, de exemplu 
.
Tabelul de valori este:
Deci functia sin este strict crescatoare pe intervalele 
si strict
descrescatoare pe intervalul 
.
Monotonia functiei sin pe R se obtine adaugand la
capetele intervalelor de mai sus multiplu de perioada principala. Asadar
functia sin este strict crescatoare pe intervalele 
si strict descrescatoare
pe intervalele 
Particularizand k in fiecare din multimile de mai sus se
obtin intervale pe care functia este strict crescatoare sau
strict descrescatoare. De exemplu, pentru 
, functia sin este strict crescatoare pe
intervalele: 
iar pe intervalul 
functia este strict descrescatoare.
6)
Functia
cosinus, notata 
, este o functie de asemenea periodica de
perioada principala .
Studiul acestei functii poate fi realizat pe 
.
Tabelul de valori este:
Deci functia cos este strict descrescatoare pe 
si strict
crescatoare pe 
.
Pentru a obtine intervalele de monotonie din R ale acestei functii se adauga la capetele intervalelor de mai sus multiplu de perioada principala.
Deci pe intervalele 
, functia cos este strict descrescatoare, iar pe
intervalele
functia cos este strict crescatoare.
Prin particularizari ale lui 
se obtin
intervale din R pe care functia este strict crescatoare sau strict
descrescatoare.
7)
Functia
tangenta, notata 
este o functie
periodica de perioada principala 
.
Prin urmare este suficient sa studiem comportarea functiei
pe un interval de lungimea unei perioade, de exemplu 
Tabelul de variatie este:
Functia 
este strict crescatoare pe
Intervalele din R pe care functia este strict crescatoare se obtin adaugand
capetelor intervalului de mai sus multiplu de perioada principlaa.
Obtinem intervalele 
.
8)
Functia
cotangenta, notata 
este o functie
periodica de perioada principala .
Vom lua ca interval de studiu
. Tabelul de valori arata astfel:
Functia ctg este strict descrescatoare pe .
Intervalele din R pe care functia este strict descrescatoare
sunt 
O functie monotona pe o multime A ramane monotona pe orice submultime a sa.
Daca o functie
este strict crescatoare pe 
si pe 
, nu rezulta neaparat ca f este strict
crescatoare pe R (adica pe intreaga multime).
De exemplu, fie definita prin: 
Cum functiile 
sunt strict
crescatoare pe R, atunci ele raman la fel si pe intervalele 
si respectiv 
.
Deci f este strict crescatoare pe , , fara a fi strict crescatoare pe R, deoarece
pentru 
avem 
.
Asadar nu pentru orice 
rezulta 
.
Graficul functiei f este cel din figura.
Conditia de functie strict crescatoare pe R a fost verificata pentru:
1) 
2) 
Mai ramane de aratat ca are loc si:
3) 
(evident 
) sa avem .
In cazul functiei de mai sus tocmai aceasta conditie nu a avut loc.
In general pentru a arata ca o functie multiforma (cu doua forme) este strict crescatoare trebuie verificate 1,2,3 (unde in loc de zero poate fi orice numar real).
Utilizand graficul putem stabili daca functia este strict crescatoare.
Graficele de mai jos indica functii strict crescatoare.
Se observa ca ambele ramuri "urca", iar ramura din dreapta trebuie sa "plece" cel putin din punctul in care se termina ramura din stanga.
Graficele de mai jos indica functii strict descrescatoare.
Sa observam ca ambele ramuri "coboara", iar ramura din dreapta trebuie sa "plece" cel mult din punctul in care se termina ramura din stanga.
Problema se extinde usor la functiile cu mai mult de doua ramuri.
Exercitii propuse
Stabiliti daca functia este strict
monotona pe 
, in cazurile:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Operatii cu functii strict monotone
Fie 
Teorema:
1) Daca f este strict crescatoare (strict descrescatoare) atunci (-f) este strict descrescatoare (strict crescatoare).
2) Daca f,g sunt strict crescatoare (strict descrescatoare) atunci f+g este strict crescatoare (strict descrescatoare). Suma a doua functii strict crescatoare (strict descrescatoare) este o functie strict crescatoare (strict descrescatoare).
3)
Daca f si g sunt strict crescatoare (sau
strict descrescatoare), atunci este strict crescatoare. Compunerea a doua
functii de aceeasi monotonie da o functie strict
crescatoare.
4)
Daca f si g au monotonii diferite, atuncieste strict descrescatoare.
5)
Fie f inversabila. Daca f este strict
crescatoare (sau strict descrescatoare), atunci 
este strict crescatoare
(sau strict descrescatoare).
Demonstratie:
1)
Presupunem ca f este strict crescatoare. Sa
probam ca (-f) este strict descrescatoare. Deci sa
aratam ca: 
.
Ori 
, adevarat daca tinem seama ca f este
strict crescatoare.
2)
Fie f,g strict crescatoare. Sa aratam
ca f+g are aceeasi calitate. Fie 
Atunci si 
De aici prin adunarea
acestor inegalitati rezulta 
sau 
.
Recapituland, avem 
care reprezinta
cerinta ca f+g sa fie strict crescatoare.
Analog se procedeaza si in cazul functiilor strict descrescatoare.
3)
Presupunem ca f si g sunt strict
crescatoare. Fie 
Atunci (g strict
crescatoare) 
, iar din f strict crescatoare se deduce 
sau 
. Asadar 
, am obtinut , ceea ce arata ca este strict crescatoare.
Analog se procedeaza pentru functiile f si g strict descrescatoare.
4)
Fie f strict crescatoare, g strict
descrescatoare. Sa aratam ca este strict descrescatoare. Fie 
. Din g strict descrescatoare se deduce 
, iar din f strict crescatoare avem: 
sau 
.
Deci 
, ceea ce ne arata ca este strict descrescatoare.
5)
Fie 
inversabila
strict crescatoare si 
inversa. Fie 
si 
. Atunci exista 
astfel incat 
. Deci 
. Cum f este strict crescatoare deducem , adica 
. Asadar din , adica este strict
crescatoare.
Observatii:
1)
Daca 
si este strict
crescatoare (strict descrescatoare), atunci 
este strict crescatoare (strict
descrescatoare).
2) O suma finita de functii strict crescatoare (strict descrescatoare) pe o multime este o functie strict crescatoare (strict descrescatoare) pe acea multime.
Probleme Rezolvate
Sa se stabileasca monotonia functiilor urmatoare:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
R. a) Functia f este
suma de doua functii strict crescatoare pe R, 
si deci este o
functie strict crescatoare.
b) Punand 
, doua functii strict crescatoare pe 
fiind suma a doua
astfel de functii.
c) Daca 
functii strict crescatoare pe 
, atunci 
fiind suma a doua
functii strict crescatoare, este de asemenea strict crescatoare
d) Luand 
, functii strict crescatoare, se deduce ca 
are aceeasi
calitate.
e) In acest
caz functiile 
sunt strict
descrescatoare, iar 
este de asemenea
strict descrescatoare
f) Functiile 
sunt strict descrescatoare
si deci are aceeasi
proprietate pe
Probleme propuse
Stabiliti monotonia functiilor urmatoare:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10) 
Functii convexe (si concave)
Dupa clasa functiilor monotone (crescatoare sau descrescatoare) pe o multime, trebuie subliniata clasa asa numitelor functii convexe si concave.
Atragem atentia ca abordarea riguroasa a unor concepte din acest paragraf va fi realizata in cadrul cursului de analiza matematica.
(Presupunem ca in fiecare punct al graficului se poate construi tangenta la grafic).
Incepem pregatirea acestui paragraf prin cateva remarci:
1)Fie o portiune din graficul functiei 
si A,B doua puncte de pe acest grafic.
Consideram coarda AB de panta 
Grafic
Daca se "coboara" aceasta coarda pastrand
panta 
a dreptei
initiale AB, punctele A, B se vor "apropia" pe grafic din ce in ce mai
mult pana coincid in punctul T. Spunem ca dreapta devine tangenta
in punctul T la graficul functiei. In aceasta situatie graficul
este situat "deasupra" tangentei (prima figura). In a doua figura,
graficul este situat sub tangenta in T la grafic.
2) O functie poate fi strict crescatoare in doua moduri (figurile de mai jos).
Grafic
In figura din stanga, graficul se afla sub tangenta in fiecare punct al sau, iar in cazul figurii din dreapta, graficul se afla deasupra fiecarei tangente in fiecare punct al sau.
De asemenea o functie poate fi strict descrescatoare in doua moduri (figurile de mai jos).
Grafic
Aceleasi observatii de la functia strict crescatoare privind pozitia graficului in raport cu tangentele in punctele sale se pot face si aici.
Definitie: Fie functia
I interval. Se spune
ca functia f este convexa
pe I daca 
si 
avem 
(1)
Functia f se numeste concava
pe I daca si avem: 
. (2)
Observatii:
1) Daca in inegalitatile (1) si (2) avem inegalitate stricta se spune ca functia f este strict convexa si respectiv strict concava pe I.
2) Notiunea de
functie convexa (concava) a fost introdusa de Jensen, care
a pornit de la o relatie mai particulara decat (1) sau (2) si
anume 
si respectiv 
care corespunde lui 
.
Pentru functiile pe care le analizam 
, 
(
de exemplu), 
, ( de exemplu), aceasta definitie este
echivalenta cu cea data in text.
3) Daca f este convexa
pe I, atunci 
este concava pe I.
4) Daca punem 
, atunci 
cu 
, iar (1) si (2) se scriu: 
(1
(2
Interpretare geometrica
Sa consideram punctele 
apartinand graficului functiei 
, I = interval si punctul 
. Acest punct parcurge intervalul 
cand .
Intr-adevar trebuie sa aratam ca: 
.
Prima inegalitate se scrie echivalent 
evident.
Analog, a doua inegalitate devine: 
, adevarat deoarece 
si 
Grafic
Dreapta AB are ecuatia (determinata de doua puncte):
Fie punctul C de abscisa 
care are ordonata:
Punctul C de pe graficul
functiei are abscisa si ordonata 
. Pentru forma graficului prezentata in figura avem:
sau 
, ceea ce corespunde functiei convexe.
Semnificatia inegalitatii 
, in cazul functiei convexe este:
Graficul functiei convexe intre doua puncte ale graficului este situat sub coarda determinata de cele doua puncte.
- sau, daca tinem seama de remarcile prezentate la inceput -
Graficul functiei convexe este situat deasupra oricarei tangente duse intr-un punct al graficului.
Semnificatia inegalitatii , in cazul functiei concave este:
Graficul functiei concave intre doua puncte ale graficului este situat deasupra coardei determinate de cele doua puncte.
- sau -
Graficul functiei concave este situat sub orice tangenta dusa intr-un punct al graficului.
Se mai spune despre functia convexa ca are graficul o curba convexa iar despre functia concava ca are graficul o curba concava.
Un punct al graficului in care se schimba forma convexa cu concava sau concava cu convexa se numeste punct de inflexiune al graficului.
In limbajul trivial spunem despre graficul convex, avand forma sectiunii unui vas cu gura in sus, ca "tine apa", in timp ce graficul concav "nu tine apa".
Exemple de functii studiate
1)
Functia de
gradul intai, 
este atat convexa cat si concava deoarece
(pentru 
) avem: 
2)
Functia de
gradul al doilea, f
3)
Functia cubica,
este concava pe si convexa pe , ceea ce arata ca 
este punct de
inflexiune pentru graficul functiei. In general 
este concava pe si convexa pe .
4)
Functia
radical de ordin 2, 
este concava deoarece 
avem: 
, adevarat (inegalitatea mediilor pentru doua
numere pozitive).
5)
Functia
radical de ordin 3,
este convexa pe
si concava pe 
Punctul este punct de inflexiune pentru graficul functiei.
6)
Functia
sinus, 
. Pentru aceasta functie precizam convexitatea
pe un interval de lungimea unei perioade principale . Pe functia este concava, iar pe intervalul functia este convexa. Deci punctul 
este punct de inflexiune al functiei.
Pentru avem: pe intervalele 
, functia este concava, iar pe intervalele 
, functia este convexa. Punctele 
, sunt puncte de inflexiune pentru functie.
7)
Functia
cosinus, . Pentru intervalul avem: pe 
, functia este concava;
pe 
functia este convexa; pe 
functia este concava.
Deci punctele 
si 
sunt puncte de
inflexiune pentru functia cosinus.
Extinderea acestor rezultate pe este imediata. Din forma graficelor functiilor pe intervalul 
si 
pe precizati
intervalele de convexitate (concavitate) si punctele de inflexiune.
Observatie: Se poate demonstra prin inductie matematica
(inegalitatea lui Jensen): 
daca f este convexa (concava), 
Probleme rezolvate
1. a) Sa se arate ca produsul dintre o functie convexa si o functie constanta pozitiva este o functie convexa.
b) Sa se arate ca o suma de functii convexe este o functie convexa.
c) Daca 
g convexa iar f
convexa si crescatoare, atunci este convexa.
d) Daca f si g sunt functii reciproce, atunci au loc afirmatiile:
. f convexa, crescatoare 
g concava,
crescatoare
. f convexa, descrecatoare g convexa,
descrescatoare
e) Daca , I interval, este o functie neconstanta si
convexa, atunci f nu-si poate atinge valoarea cea mai mare in
interiorul intervalului.
R.
a) Fie 
, I interval, f convexa si 
. Trebuie probat ca este convexa,
adica 
Cum f este convexa rezulta: .
Inmultind aceasta inegalitate prin 
se obtine
relatia dorita.
b) Probam
afirmatia pentru doua functii convexe 
Fie 
Scriem ca f,g sunt convexe, adica: 
Adunam aceste inegalitati, membru cu membru, si obtinem:
ceea ce arata
ca 
este convexa.
c) Din g
convexa pe I rezulta: 
De aici rezulta
(f crescatoare, combinata
cu f convexa): 
ceea ce arata ca este convexa (de
observat momentul in care a intervenit faptul ca f este crescatoare - deci de retinut
ca f,g convexe nu implica convexa!).
d) Vom demonstra doar 
Fie
I si J intervale din R si 
inversa lui f.
Daca f este crescatoare, atunci am vazut (la functii
monotone) ca g este crescatoare. Sa aratam ca g
este concava, adica 
. 
Pentru 
exista 
astfel incat 
Din f convexa rezulta: 
Dar f este crescatoare si de aici avem: 
sau 
.
e) Prin reducere la absurd. Presupunem ca f
isi atinge cea mai mare valoare in 
din interiorul
intervalului I. Deci exista astfel incat 
De aici
Punem 
si inmultim
prima egalitate cu 
si a doua cu t
si le adunam, cand avem: 
relatie ce contrazice convexitatea lui f.
2. Sa se arate
ca intr-un triunghi ABC avem: 
.
R. Functia 
este concava. Conform
inegalitatii lui Jensen 
Cum 
inegalitatea se
rescrie: 
.
Functii injective, surjective, bijective
Definitia functiei injective. Proprietati
Fie o functie 
.
Definitie: Functia f se numeste injectiva (sau inca injectie)
daca: 
Asadar o functie f este injectiva daca la
argumente diferite 
le corespund prin f
imagini diferite 
Functia f este injectiva Functia f nu este injectiva
Analizand functiile prezentate mai sus prin "diagrame" constatam ca o functie f este injectiva daca la elementele codomeniului ajunge celmult o "sageata". Functia f nu este injectiva daca cel putin la un element al codomeniului ajung cel putin doua "sageti".
De obicei pentru a proba ca o functie este injectiva se
utilizeaza negatia reciprocei implicatiei 
.
Mai precis are loc urmatoarea:
Propozitie: Functia este injectiva daca 
.
Demonstratia propozitiei este imediata.
Pentru a proba ca o functie
nu este injectiva se gasesc doua elemente 
astfel incat 
.
De exemplu, functia 
nu este injectiva
deoarece exista 
pentru care
Monotonie si injectivitate
Are loc urmatoarea:
Propozitie: Orice functie strict monotona este injectiva.
Demonstratie: Fie strict
crescatoare (analog se procedeaza daca este strict
descrescatoare). Sa aratam ca f este injectiva
adica daca 
Din 
sau 
. Daca , atunci , adica 
.
La fel din rezulta 
, adica 
Operatia de compunere si functiile injective
Daca 
sunt doua
functii injective. Ce se poate spune despre functia Este oare de asemenea injectiva?
Raspunsul este afirmativ dat de urmatoarea:
Propozitie: Daca 
sunt functii injective atunci este o functie
injectiva. (Compunerea a doua functii injective este tot o
functie injectiva).
Demonstratie: Trebuie
aratat ca daca 
, atunci 
. Din 
Cum g este
injectiva de aici rezulta . In fine, cum si f este injectiva deducem ca .
Observatie: Aratati
ca daca este injectiva, atunci f este
injectiva.
Exemple studiate de functii injective
1) Functia de gradul intai
este injectiva.
Intr-adevar aratam ca daca 
, atunci 
Din rezulta 
sau 
. Cum 
de aici rezulta
Observatie: Functia de gradul intai fiind strict monotona este injectiva.
2) Functia cubica este injectiva.
Fie 
. De aici 
. Produsul este zero daca cel putin unul din
factori este zero. Deci 
, adica sau 
Ultima egalitate este imposibila deoarece gandita
ca o ecuatie de gradul al doilea in 
(sau
) aceasta nu are radacini reale pentru ca
discriminantul ei este negativ. Ramane deci . Daca 
, atunci 
.
Prin urmare daca se obtine , ceea ce arata ca f este injectiva.
Observatie: Functia cubica fiind strict crescatoare este injectiva.
3) Functia radical de
ordin 2, 
este injectiva,
deoarece din 
rezulta 
sau.
Analog 
este injectiva.
Observatii: Aceasta functie fiind strict crescatoarea este injectiva.
4) Functia radical de
ordin 3, este injectiva.
In general 
este injectiva.
Observatii: Aceasta functie fiind strict crescatoare este injectiva.
Daca functiei f i se cunoaste graficul, atunci se poate preciza daca functia f este sau nu injectiva.
Pentru a stabili rezultatul se impun cateva precizari.
Daca este o functie
numerica 
, atunci in trasarea graficului in reperul cartezian 
se pun in
evidenta puncte 
unde 
.
Grafic
Multimii A ii corespund puncte de pe axa 
iar multimii B puncte de pe axa 
(vezi figura). Am
marcat mai ingrosat aceste multimi pe fiecare axa.
Este clar ca 
Daca functia este injectiva, atunci la un element 
ajunge prin f cel mult
un element , adica . Sa retinem si aceasta ultima
formulare care ofera un alt mod de a stabili daca o functie este
injectiva.
Dar 
reprezinta
ecuatia unei drepte paralele cu axa 
. Pentru a vedea daca exista astfel incat 
, dreapta 
ar trebui sa
intersecteze graficul functiei. Acest punct (sau puncte) de
intersectie are abscisa (abscisele) 
pentru care 
.
Acum este usor de stabilit urmatoarea:
Regula: Functia este injectiva daca orice paralela 
dusa printr-un
punct al codomeniului la axa intersecteaza
graficul in cel mult un punct.
Functia f nu este
injectiva, daca exista cel putin o paralela
dusa printr-un punct al codomeniului la axa care intersecteaza graficul in cel putin doua
puncte.
Grafic
Al treilea mod de abordare al injectivitatii unei
functii utilizeaza o idee pe care am prezentat-o mai sus:
functia f este injectiva daca la un elemnt , ajunge prin f cel mult un element , adica are cel mult o
solutie.
Revenim asupra exemplelor analizate.
1) Functia de gradul intai: 
este injectiva
deoarece pentru 
, arbitrar ales ecuatia (are cel mult o
solutie). Intr-adevar 
reprezinta
solutia unica a ecuatiei.
2) Functia cubica 
este
injectiva pentru ca ecuatia 
arbitrar (fixat) are cel mult o solutie (chiar o
solutie). Din rezulta 
, cu unica solutie reala 
3) Functia radical de ordin 2, 
este injectiva
deoarece pentru orice 
ecuatia are cel mult o
solutie 
Avem 
4) Functia radical de ordin 3, 
este injectiva
pentru ca ecuatia , arbitrar fixat are cel mult o solutie 
. Intr-adevar din 
Exemple de functii care nu sunt injective
1) 
Pentru 
arbitrar fixat,
ecuatia are mai mult de o
solutie. Intr-adevar din 
2) 
Pentru , ecuatia 
.
3) 
Pentru 
ecuatia 
are cel putin
solutiile 
4) 
Pentru 
ecuatia 
are cel putin
solutiile 
Observatie: Daca 
si 
, 
atunci faptul ca
f este injectiva se poate proba aratand ca 
Multimile 
sunt situate pe axa 
Definitia functiei surjective. Proprietati
Fie o functie .
Definitie: Functia f
se numeste surjectiva (sau
inca surjectie) daca
pentru orice exista cel putin un element astfel incat 
Cu alte cuvinte functia f este surjectiva daca orice
element (y) al codomeniului (B) este imaginea prin f a cel putin unui
element (x) din domeniul (A) al functiei. Functia f nu este surjectiva daca
exista cel putin un element y al codomeniului astfel incat 
sa rezulte 
Iata doua functii definite prin "diagrame".
Grafic
Daca functia f este definita printr-o diagrama, atunci f este surjectiva daca la fiecare element al codomeniului ajunge cel putin o "sageata".
Functia f nu este surjectiva daca exista cel putin un element al codomeniului la care nu ajunge nici o "sageata".
Observatie
importanta: Elementul care apare in
definitie se obtine rezolvand ecuatia 
Tehnicile de lucru prin care am probat ca f este injectiva se aplica si pentru o functie surjectiva cu anumite corectii impuse de definitia functiei surjective. Mai precis are loc urmatoarea:
Regula: Functia este surjectiva daca orice
paralela dusa printr-un
punct al codomeniului la axa intersecteaza
graficul in cel putin un punct.
Functia f nu este surjectiva daca
exista cel putin o paralela dusa printr-un punct al
codomeniului la axa care nu
intersecteaza graficul in nici un punct.
Dupa cum se poate constata, functiile analizate cu ajutorul graficelor la functiile injective sunt si surjective.
Functia 
nu este
surjectiva deoarece pentru 
o paralela
dusa prin acest punct al codomeniului la nu taie graficul in
nici un punct.
Grafic
Dar functia 
este surjectiva.
Alt mod de a proba surjectivitatea functiei este de a arata
ca ecuatia in x, 
are cel putin o
solutie .
Sa reluam exemplul de mai sus. Fie
Pentru ecuatia 
adica evident nu are
solutie. Deci f nu este surjectiva.
Observatie: Daca 
, 
si 
, atunci faptul ca f este surjectiva se poate proba
aratand ca 
Multimile sunt situate pe axa
Compunere si surjectivitate
Legat de compunerea a doua functii surjective are loc urmatoarea:
Propozitie. Daca sunt doua functii surjective, atunci si
functia este surjectiva.
Grafic
Demonstratie: Sa aratam ca pentru orice 
exista cel
putin un element 
astfel incat 
Fie deci 
Cum functia g
este surjectiva exista cel putin un element 
astfel incat 
.
Functia f fiind de asemenea surjectiva pentru (gasit mai sus)
exista astfel incat 
Din (1) si (2) rezulta 
sau .
Observatie: Aratati
ca daca este surjectiva, atunci g este surjectiva.
Definitia functiei bijective. Proprietati.
Fie o functie 
.
Definitie: Functia f se numeste bijectiva (sau inca bijectie) daca f este atat injectiva cat si surjectiva.
Tinand seama de cele spuse la functia injectiva cat si surjectiva, functia f este bijectiva daca orice element (y) al codomeniului (B) este imaginea prin f a unui singur element (x) din domeniul (A) al functiei.
Altfel spus:
Functia f este bijectiva daca pentru orice ecuatia are o unica
solutie in A.
Daca este dat graficul functiei f, atunci:
Regula: Functia este bijectiva daca orice
paralela dusa printr-un
punct al codomeniului la axa intersecteaza graficul in exact un punct.
O functie bijectiva se mai numeste si corespondenta "one to one", adica o corespondenta "unu la unu".
Daca functia este data printr-o diagrama, atunci ea este bijectiva daca la orice element din codomeniu soseste o singura sageata.
Grafic
Functia f este bijectiva.
Exemple studiate de functii bijective
1)
Functia de
gradul intai 
este bijectiva
deoarece este atat injectiva cat si surjectiva.
2)
Functia
cubica fiind atat
injectiva cat si surjectiva este bijectiva.
3)
Functia
radical de ordin 2 
este bijectiva fiind
injectiva si surjectiva
4)
Functia
radical de ordin 3 este bijectiva
deoarece este injectiva si surjectiva
5)
Functia
sinus restrictionata la 
pe care o
notam tot 
este bijectiva,
avand graficul redat mai jos. Se constata ca orice dreapta 
taie graficul in exact
un punct.
Grafic
6)
Functia
cosinus restrictionata la si
notata tot 
este de asemenea bijectiva.
Grafic
7)
Functia
tangenta restrictionata la 
si
notata tot 
este bijectiva.
Grafic
8)
Functia
cotangenta restrictionata la si
notata tot 
este bijectiva
Grafic
Compunere si bijectivitate
Tinand seama de comportarea functiilor injective si surjective in raport cu operatia de compunere se stabileste usor urmatoarea:
Propozitie: Daca sunt doua
functii bijective, atunci functia este bijectiva.
Conditia necesara si suficienta ca o functie sa fie inversabila
Daca A este o multime, atunci
functia 
se numeste
functia identica a multimii A.
Reamintim definitia pentru o functie inversabila.
Definitie:
O
functie se numeste inversabila
