OLIMPIADA DE MATEMATICA ETAPA JUDETEANǍ - 3 MARTIE

CLASA A V-A

1)

Suma a 2007 numere naturale nenule este 2015027. Demonstrati cǎ existǎ cel putin douǎ dintre aceste numere a cǎror diferentǎ se divide cu orice numǎr natural nenul .

Problemǎ propusǎ de prof.

2)

Fiind dat urmǎtorul sir de numere naturale:2 , 8 , 26, 80, 242,. , sǎ se determine ultima cifrǎ a celui de al 2007-lea numǎr din sir.

Problemǎ propusǎ de prof.

3) Un elev a scris urmǎtoarea egalitate si nu a fost corectat de profesor, spre mirarea colegilor sǎi:  2007=1465.

Acestora li s-a dat urmǎtoarea explicatie: cele douǎ numere sunt scrise in baze de numeratie diferite. Numǎrul 2007 este scris intr-o bazǎ de numeratie (b) egalǎ cu ultima cifrǎ a numǎrului N, unde

N=1²⁰⁰⁷ + (1^.2)²⁰⁰⁷ + (1^.2^.3)²⁰⁰⁷ + + (1^.2^.3^..2007)²⁰⁰⁷

iar numǎrul 1465 este scris intr-o bazǎ de numeratie (c) : 2007 _(b)=1465 _(c).

a)     Determinati baza de numeratie (b) .

b)     Determinati baza de numeratie (c) in care este adevǎratǎ egalitatea: 2007 _(b) = 1465_(c)

Problemǎ propusǎ de prof.

4)     Sǎ se afle cifrele a si b stiind cǎ :

(a+b)² + (b-a+7)² = , b>a

Problemǎ propusǎ de prof.

Nota

Toate subiectele sunt obligatorii.

Fiecare subiect se noteaza cu puncte de la 0 la 7.

Timp de lucru 3 ore.

OLIMPIADA DE MATEMATICA

ETAPA JUDETEANA - 3 MARTIE

CLASA A VI-A

1. Se considera numarul , scris in baza 10, cu cifre diferite, nenule, pentru care , si .

a)     Aratati ca .

b)     Cate numere de acest fel exista?

Problema propusa de prof.

2. Spunem ca un numar natural "isi atinge scopul" daca si numai daca este un numar de cel putin doua cifre si se poate scrie ca suma unor numere naturale consecutive, cel mai mic dintre aceste numere naturale consecutive fiind egal cu suma cifrelor numarului . Aflati numerele naturale care "isi ating scopul" si care au suma cifrelor egala cu 1.

Problema propusa de prof.

3. Se considera semidreptele cu proprietatea ca unghiurile sunt unghiuri proprii, adiacente doua cate doua. Notam . Se stie ca numerele 2a, 3b, 6c sunt direct proportionale cu numerele 3, 4, si respectiv 7.

a)     Determinati a, b, c;

b)     Aratati ca b este media aritmetica intre a si c;

c)     Se construieste semidreapta in semiplanul determinat de dreapta care contine semidreapta , astfel incat . Demonstrati ca semidreapta opusa semidreptei este bisectoarea unghiului .

Problema propusa de prof.

4. Se considera un poligon cu cinci laturi. Se stie ca lungimile laturilor sale sunt numere naturale diferite iar perimetrul sau este un numar natural, mai mic decat 100, multiplu al tuturor celor cinci lungimi de laturi. Sa se determine lungimile laturilor acestui poligon.

Problema propusa de prof. dr.

Nota

Toate subiectele sunt obligatorii.

Fiecare subiect se noteaza cu puncte de la 0 la 7.

Timp de lucru 3 ore.