Cercul teoreme

CERCUL TEOREME

Definitie Cercul cu centrul in O si de raza r este multimea tuturor punctelor din plan situate la distanta r fata de O. Se noteaza C(O,r).

Daca A este un punct al cercului, distanta dintre punctul A si O este raza cercului.

Daca M si N sunt doua puncte ale unui cerc, segmentul se numeste coarda.

O coarda ce contine centrul cercului se numeste diametru

In figura, , sunt coarde, iar este diametru.

Cercurile care au raze egale se numesc cercuri congruente.

Daca doua cercuri au acelasi centru si aceeasi raza, ele coincid.

Cercurile care au acelasi centru se numesc cercuri concentrice.

Fiind dat cercul C(O,r), multimea punctelor M din plan pentru care OM < r se numeste interiorul cercului si se noteaza: IntC(O,r).

Multimea punctelor N din plan pentru care ON > r, se numeste exteriorul cercului si se noteaza: ExtC(O,r).

Se numeste disc de centru O si raza r, r >0, multimea C(O,r)IntC(O,r) si se noteaza D(O,r).

PROPOZITII.

1.Fiind date doua puncte distincte A si B, exista o infinitate de cercuri ce contin punctele A si B .

Fie d mediatoarea segmentului Punctele mediatoarei d au proprietatea ca sunt egal departate de capetele segmentului . Atunci orice cerc care are centrul pe mediatoarea segmentului contine punctele A si B.

2. Oricare trei puncte distincte ale unui cerc sunt necoliniare.

3. Prin trei puncte necoliniare trece un cerc.

4.  Daca A, B, C sunt trei puncte distincte ale unui cerc, atunci centrul cercului se afla la intersectia mediatoarelor triunghiului ABC.

5. Daca doua cercuri au trei puncte distincte comune, atunci elecoincid.

EXERCITII

Sa se construiasca triunghiul ABC si apoi cercul circumscris triunghiului.

a)     AB=7cm; AC=8cm; BC=9cm;

b)     AB=AC=6cm; BC=10cm

c)     AB=6cm; AC=8cm; BAC=

d)     AB=AC=BC=8cm

Se dau punctele A si B asfel incat AB=5cm.

a)     Exista cercuri de raza 2cm care sa contina punctele A si B? Dar de 2,5cm?

b)     Cate cercuri de raza 4cm trec prin punctele A si B?

UNGHI LA CENTRU. ARCE DE CERC.

Un unghi care are varful in centrul cercului se numeste unghi la centru.

Multimea punctelor de pe cerc situate in interiorul unghiuluiAOB reunite cu A si B se numeste arc mic si se noteaza .

Multimea punctelor de pe cerc situate in exteriorul unghiului AOB, reunite cu A si B se numeste arc mare si noteaza , unde .

Punctele A si B se numesc capetele arcelor.

Daca A si B sunt capetele unui diametru, arcele se numesc semicercuri

Masura arcului mic este egala cu ; masura arcului mare este egala cu ; masura unui semicerc este .

doua arce sunt congruente daca au aceeasi masura.

TEOREMA 1.

La arce congruente corespund coarde congruente(in acelasi cerc sau in cercuri congruente).

Se dau arcele AB si CD congruente.

Triunghiurile cazul LUL

Rezulta ca

Reciproca.

La coarde congruente corespund arce mici congruente( in acelasi cerc sau in cercuri congruente)

TEOREMA 2.

Daca A si B sunt doua puncte distincte ale unui cerc, atunci diametrul perpendicular pe coarda AB imparte coarda si arcele in doua parti congruente.

Diametrul este perpendicular pe coarda .

este isoscel, si fiind raze.OC face parte din diametrul cercului, deci este inaltime in triunghi. Rezulta ca OC este si mediana, deci . Dar este si bisectoare, deci de unde rezulta ca si arcele sunt egale.

TEOREMA 3.

Daca doua coarde ale unui cerc sunt congruente, atunci distantele de la centru la coarde sunt egale.

Triunghiurile avand toate laturile congruente , rezulta ca si inaltimile si sunt congruente.

TEOREMA 4.

Daca A si B sunt doua puncte distincte ale unui cerc si punctul M apartine arcului determinat de ele, atunci masura arcului este egala cu masura arcului plus masura arcului .

TEOREMA 5.

Daca si sunt doua coarde paralele ale unui cerc, iar punctele A si C sunt situate de aceeasi parte a diametrului perpendicular pe coarde atunci: arcele mici AC si BD sunt congruente ; coardele AC si BD sunt congruente.

MN este diametrul perpendicular pe coardele si deci M este mijlocul arcului iar N este mijlocul arcului . De aici rezulta ca arcele si sunt congruente ca fiind diferente de arce congruente. Arcele fiind congruente si coardele sunt congruente.

PROBLEME

1.      Care este masura unghiului format de acele unui ceas la ora 9 si 25 de minute? Dar la ora 9 si 15 minute?

2.      Se considera intr-un cerc  o coarda si diametrul perpendicular pe ea.Unghiul AOB este de . Sa se afle masurile arcelor AM, AN, MB, BN.

3.      Se da cercul cu raza de 6cm.Punctele A si B sunt pe cerc si determina arcul AB cu masura de .Sa se calculeze marimea coardei AB si distanta de la punctul B la OA.

4.      Intr-un cerc se iau coardele paralele si . Diametrul le intersecteaza in punctele P si T astfel incat . Sa se arate ca :

a)     .

b)     Arcele AB si CD sunt congruente.

c)     Punctele C, O, si B sunt coliniare.

d)     ABDC este un dreptunghi.

5.      Intr-un cerc de centru O coarda intersecteazadiametrul intr-un punct E astfel incat unghiul . Fie diametrul perpendicular pe CD, punctul F fiind de aceeasi parte a lui CD ca si A. Daca AE=2cm si EB=6cm:

a)     sa se calculeze distanta de la O la CD;

b)     sa se calculeze masurile arcelor mici AF, FB si BG;

c)     sa se demonstreze ca arcele mici FB si AG congruente;

POZITIILE RELATIVE ALE UNEI DREPTE FATA DE UN    CERC.

1)     Dreapta secanta fata de un cerc este dreapta care are doua puncte comune cu cercul: A si B.

2)     Dreapta tangenta la cerc este dreapta care are un singur punct comun cu cercul: T. Dreapta tangenta la cerc este perpendiculara pe raza in punctul de intersectie al ei cu cercul.

3)     Dreapta exterioara cercului este dreapta care nu are puncte comune cu cercul.

PROBLEME

1. Fie ABC un triunghi echilateral cu latura de 6cm, iar C un cerc cu centrul in A si raza 2cm. Stabiliti pozitia dreptei BC fata de C(A,2cm).
2. Fie M, N doua puncte pe dreapta d astfel incat MN=8cm, iar O un punct exterior dreptei d astfel incat OM=10cm si . Stabiliti pozitia dreptei d fata de cercul C(O,r) daca r este egal cu: a) 6cm; b) 2cm; c)8cm; d) 3cm.

UNGHI INSCRIS IN CERC

DEFINITIE

Unghiul BAC se numeste unghi inscris in cercul C(o,r) daca A,B si C apartin cercului C(o,r).

Unghiurile BAC, MPQ si STV sunt unghiuri inscrise in cerc. Arcele mici BC, MQ, respectiv SV sunt arce cuprinse intre laturile unghiurilor inscrise.

DEFINITIE

Spunem ca triunghiul ABC este inscris in cerc daca varfurile sale apartin cercului.

TEOREMA I

Masura unui unghi inscris in cerc este jumatate din masura arcului cuprins intre laturile sale.

In figurile de mai sus avem:

TEOREMA II

Masura unui unghi cu varful pe cerc, avand una din laturi secanta, iar cealalta latura tangenta cercului, este jumatate din masura arcului de cerc inclus in interiorul unghiului.

IIIIII

Cazul I:   unghiul BAC este ascutit.

Cazul II: unghiul BAC este obtuz.

Cazul III: unghiul BAC este drept.  

UNGHI CU VARFUL IN INTERIORUL CERCULUI

Unghiul cu varful in interiorul cercului ATC ( care este congruent cu DTBfiind unghiuri opuse la varf) are ca masura jumatate din suma masurilor arcelor cuprinse intre laturile sale.

Avem aceeasi relatie pentru ( opuse la varf)

UNGHI CU VARFUL IN EXTERIORUL CERCULUI

Unghiul cu varful in exteriorul cercului,

APB are ca masura jumatate di diferenta arcelor cuprinse intre laturile sale.

PROBLEME

1. Punctele A,B,C,D,E se afla in aceasta ordine pe cercul C(O,r) astfel incat iar .

a) Calculati masurile unghiurilor

b)Aratati ca (DB este bisectoarea .

c)Aratati ca A, O, D sunt coliniare.

2. In triunghiul ABC iar . Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC.

a) Calculati masurile arcelor mici AC,AB,BC.

b) Aratati ca .

c) Calculati unghiurile triunghiului AOC.

d) Fie D un punct situate de aceeasi parte a dreptei BC ca si punctul A astfel incat . Demonstrati ca DC este tangenta la cerc.

3. In triunghiul ABC, , . Tangenta in A la cercul circumscris triunghiului intersecteaza BC in D. Calculati masurile unghiurilor triunghiurilui ADB.

POZITIILE RELATIVE A DOUA CERCURI.

Fie doua cercuri si . Distanta dintre centrele celor doua cercuri este . Avem urmatoarele cazuri:

1.

> ; fie ; :

Atunci In acest caz cercurile se numesc exterioare.

2.

; cercurile au un singur punct comun A. Daca ar mai avea un punct comun B, atunci : si , insa , contradictie.

Cercurile se numesc tangente exterior.

3.

In acest caz cercurile sunt tot tangente dar, sunt tangente interior.

Punctele sunt coliniare.

4.

In acest caz cercurile au doua puncte comune si ele

se numesc secante.

5.

In acest caz cele doua cercuri nu au puncte comune. Ele se numesc interioare.

TEOREMA 1

Prin orice punct exterior unui cerc trec doua drepte tangente la cerc.

TEOREMA 2

Tangentele duse dintr-un punct exterior unui cerc sunt congruente.

AM si BM sunt tangentele duse din punctul M la cerc.

Triunghiurile OAM si OBM sunt dreptunghice in punctele A, respective B deoarece stim ca tangenta este perpendiculara pe raza.

Cele doua triunghiuri sunt congruente:

De aici rezulta ca

PROBLEME

1. Doua cercuri secante de raze 2cm, respectiv 5cm, au distanta dintre centre egala cu 2x-1,cu xZ. Calculati x.

2. Doua cercuri sunt secante in punctele A si B.

Sa se arate ca unde si sunt centrele cercurilor.

3. Fie A un punct exterior cercului C(O,r).Sa se demonstreze ca (AO este bisectoarea unghiului determinat de tangentele duse din A la cerc.