Integrale definite Și nedefinite

INTEGRALE DEFINITE ȘI NEDEFINITE

Tabel integrale Tabel derivate

INTEGRALE DEFINITE

SUME RIEMANN

Definiție: Se da colecția de obiecte:

[a,b] - interval inchis

- diviziune a intervalului [a,b]

 = (a=x₀<x₁<x₂<.<x_n=b)

f:[a,b]R

_I - un sistem de puncte intermediare cuprins in intervalul [a,b]

_I  [x_i-1,x_i]

Numim suma Riemann atașata funcției f, diviziunii  și sistemului de puncte intermediare _I numarul notat:

n

_(f,_i) =  f(_i)*(x_i-x_i-1)

i=1

INTEGRALE IN SENS RIEMANN

Definiție: Se da f:[a,b]R. Spunem ca funcția f este integrabila in sens Riemann daca  i_f  R a.i.  >0, _>0 cu proprietatea ca   o diviziune a intervalului [a,b] si (_i) un sistem de puncte intermediare, _i  [x_i-1,x_i] cu ||||<_ sa avem |_(f,_i) - i_f |<.

i_f - se numește integrala definita a funcției f pe intervalul [a,b]

b

notez: i_f =  f(x)*dx.

a

b

Obs:

1) Numarul real i_f este unic;  f(x)*dx este unica.

a

Demonstrație:

P.p.a. ca  i₁i₂ care verifica condițiile din definiție, atunci pentru  >0  _k,>0 (k=1,2) astfel incat pentru orice diviziune:

=(x₀,x₁,.,x_n) a lui [a,b] cu |||| < _ și orice puncte intermediare x_i-1  _i  x_i (1  i  n) sa avem:

|_(f,)-i_k|</2                         (k=1,2).

Luand _ = min(_1, , _2,) rezulta ca pentru orice diviziune  a lui [a,b] cu ||||<_ si orice sistem (_i) de puncte intermediare asociat lui , avem:

|_(f,)-i₁| < /2 si |_(f,)-i₂| < /2,

deci:                               |i₁- i₂| < |i₁- _(f,)| + |_(f,)-i₂| < /2+/2 = .

Cum  > 0 a fost luat arbitrar, rezulta i₁=i₂; dar din ipoteza i₁i₂  contradicție.

Deci i_f este unic.

2) f:[a,b]R

f - integrabila in sens Riemann pe [a,b]  f marginita pe [a,b]

Demonstrație:

f - integrabila pe [a,b]   i_f  R a.i.   o diviziune a lui [a,b] si  >0,  _>0 pentru care ||||<_   |_(f,_i) - i_f |<  _i un sistem de puncte intemediare.

Arat ca f este marginita pe [x_k-1,x_k]

 x, ik

Fie _i=

x_i, i=k

n n

_(f,_i) =  f(_i)*(x_i-x_i-1) =  f(x_i)*(x_i-x_i-1) + f(x)*(x_k-x_k-1)

i=1 i=1

ik

|_(f,_i) - i_f | < 

- < _(f,_i) - i_f <  /+ i_f

- + i_f < _(f,_i) <  + i_f

n

- + i_f <  f(x_i)*(x_i-x_i-1) + f(x)*(x_k-x_k-1) <  + i_f

i=1

ik

1/(x_k-x_k-1)*[ -  + i_f -  f(x_i)*(x_i-x_i-1)] < f(x) < 1/(x_k-x_k-1)*[ -  + i_f -  f(x_i)*(x_i-x_i-1)]

[] []

M₁ M₂

M₁< f(x) < M₂

 f - marginita pe [x_k-1,x_k]        k   f - marginita pe [a,b]

3) f,g:[a,b] R

A[a,b]

A finita, cu proprietea:

i)        g integrabila pe [a,b]

ii)       f(x)=g(x) x[a,b]A

atunci: a) f - integrabila pe [a,b]

b b

b)  g(x)*dx =  f(x)*dx

a a

Demonstrație:

Este suficient ca demonstrația sa fie facuta pentru cazul cand mulțimea finita A este formata dintr-un singur punct c, deoarece cazul general se poate obține din acesta prin inducție. Presupunem deci A=.

Funcția g fiind integrabila, este marginita, deci  M₁  0 astfel incat:

|g(x)|  M₁       x[a,b]

Luand M = max( M₁, |f(c)| )   f(x)  M si g(x)  M  x[a,b].

g - integrabila    > 0,  '_ > 0        a.i.:

b

1)     | _(g,_i) -  g(x)*dx | < /2

a

  = (x₀, x₁,.,x_n), cu |||| < '_ si  sistemul de puncte intermediare _i.

Luand  _ = min ('_, /(8*M) ), avem _  _ si 4*M*_  /2.

Daca c este un punct al diviziunii , atunci  0  i  n astfel incat c = x_j. In acest caz singurele puncte intermediare care ar putea coincide cu c sunt punctele _j sau _j+1. Deci ținand seama de faptul ca f(x) = g(x)  x  c, obținem:

| _(g,_i) - _(f,_i) | = |  ( g(_i) - f(_i) )*( x_i - x_i-1 )|  | g(_j) - f(_j)|*(x_j - x_j-1) + | g(_j+1) - - f(_j+1)|*(x_j+1 - x_j)  4*M*|||| < 4*M*_ < /2

Daca c nu este punct al diviziunii , atunci c este conținut intr-un interval deschis

(x_k-1,x_k). Deci singurul punct intermediar care ar putea coincide cu c este punctul _k, prin urmare:

| _(g,_i) - _(f,_i) | = |  ( g(_i) - f(_i) )*( x_i - x_i-1 )|  | g(_k) - f(_k)|*(x_k - x_k-1)  2*M*||||   2*M*_ < /2

Din analiza facuta pana acum rezulta ca:

2)     | _(g,_i) - _(f,_i) | < /2

Din 1) si 2) obtinem:

b            

| _(f,_i) -  g(x)*dx | < 

a            

b b

adica f este integrabila si:        f(x)*dx =  g(x)*dx.

EXEMPLE:

1)     f:[a,b] R

f(x) = k

a

 f - integrabila si  k*dx = k*(b-a)

b

 i_f = k*(b-a) a.i.   > 0  _ > 0 cu proprietatea ca  = (x₀=a<x₁<.<x_n=b) si

 _i [x_i-1,x_i], ||||<_  |_(f,_i) - i_f |<

_(f,_i) =  f(_i)*(x_i-x_i-1) =  k(x_i-x_i-1) = k* (x_i-x_i-1) = k(x₁-x₀+x₂-x₁+.+x_n-x_n-1) =

= k*(x_n - x₀) = k*(b-a)

|_(f,_i) - i_f | = |k*(b-a) - k*(b-a)| = 0 <      >0.

2)     f,g:[a,b] R

 1, pentru xQ -1, pentru xQ

f(x) =  g(x) = 

-1, pentru xRQ  1, pentru xRQ

f,g - nu sunt integrabile

Demonstratie pentru f(x) :

Fie = (a=x₀<x₁<.<x_n=b), avem:

 1*(x_i - x_i-1) = b-a, pentru _i  Q

_(f,) = 

 (-1)*(x_i - x_i-1) = a-b, pentru _i  RQ

Cum limita sumelor integrale depinde de alegerea punctelor _i, funcția nu este integrabila.

Demonstrația se face analog pentru g(x).

Desi f,g nu sunt integrabile funcțiile:

(f+g)(x) = 0 x[a,b]

(f*g)(x) = -1 x[a,b]

(f^og)(x) = 1 x[a,b]

sunt integrabile ca fiind funcții constante.

3)     Sa se cerceteze integrabilitatea funcției:

 0, daca x este irațional sau x = 0

G(x) = 

 1/q, daca x = p/q, p/q fracție ireductibila

Rezolvare: Funcția este integrabila pe segmentul [0,1]. Intr-adevar fie N un numar ales arbi-trar. Sa consideram multimea tuturor punctelor rationale din intervalul [0,1] avand numitorul mai mic decat N. Exista un numar finit de astfel de puncte, fie acesta k. Fie  o diviziune arbi-trara a segmentului [0,1]. Exista cel mult 2k intervale partiale (pe care le notam d₁',d₂',.,d_2k') care sa contina cele k puncte considerate anterior. Fiind dat >0, vom alege di-viziunea in asa fel incat suma lungimilor celor 2k intervale sa fie inferioara numarului /2. Aceasta se poate realiza alegand norma diviziunii suficeint de mica. Notam d₁", d₂",. d_2m" celelalte intervale partiale ale diviziunii. Intervalele d_i^" (i = 1, 2, ., m) contin, in afara de puncte irationale in care valoarea functiei este 0, puncte rationale de forma x = p/q, q>N, si astfel ca G(p/q) = =1/q<1/N. Deci :

2k m

S_d(G) - s_d(G) =  (M_i' - m_i')_i' +  (M_i" - m_i")_i"

i=1i=1

Am notat cu M_i', respectiv m_i' marginea supearioara, respectiv marginea inferiaora a functiei in intervalul d_i' si cu M_i", respectiv m_i" marginea supearioara, respectiv marginea inferiaora a functiei in intervalul d_i", _i' este lungimea lui d_i', iar _i" este lungimea lui d_i".

Deoarece M_i' - m_i'<1, m_i" = 0, M_i"<1/N,  i, avem

2k m

S_d(G) - s_d(G) <  _i' + (1/N)* _i" < /2 + 1/N.

i=1 i=1

Daca N > 2/, atunci 1/N < /2 si S_d(G) - s_d(G) < .

Putem calcula efectiv valoarea integralei. Deoarece in orice interval valoarea minima a

1

functiei este 0, avem s_d(G) = 0,  ; rezulta I =  G(x)dx = 0. Datorita integrabilitatii functiei

0

G, avem :

1

G(x)dx = 0.

0

Integrabilitatea functiei se mai putea stabili tinand seama de faptul ca multimea puncte-lor ei de discontinuitate este multimea numerelor rationale care este numarabila, deci neglija-bila.

TABEL CU INTEGRALE NEDEFINITE