Derivate partiale si diferentiale de ordin superior

Derivate partiale si diferentiale de ordin superior

Fie D un deschis din Rⁿ si f:DR o functie derivabila prtial pe D. Fie , i= cele n derivate partiale ale lui f.

Definitia11

I.Daca exista derivate partiala in a(respectiv in orice a) in raport cu x_k a functiei, atunci aceasta se va numi derivata partiala de ordin doi a functiei f in punctual a(respective pe D) si se va nota prin

(1) sau f''(a) daca ik

si

(2) sau f''(a) daca i=k

cu ik se vor numi derivate mixte de ordin 2 in punctual a.

II. Daca este derivabila partial pe D in raport cu variabila x_k , atunci se obtin functiile :D, ik si daca i=k numite, derivate partiale de ordin 2. ( cu ik se va numi derivata partiala mixta de ordin 2)

Ex1.

Fie f:R²R definita prin f(x₁,x₂)=sin().Atunci

(toate derivatele partiale au fost calculate in punct curent).

Derivatele partiale de ordin superior se vor defini in aceeasi maniera ca si derivatele partiale de ordin 2. Astfel, derivatele partiale de ordin 3 se vor defini ca derivatele partiale de ordin 1 ale derivatelor partiale de ordin 2. Spre exemplu, prin vom intelege derivate in raport cu variabila x_j a derivatei partiale de ordin doi .Pentru vom mai utilize si notatia f'''

Continuand recurrent, vom putea defini derivatele partiale de ordin q≥2 ale functiei f ca derivatele partiale de ordin 1 al ederivatelor partiale de ordin q-1.De asemenea, vom spune ca f este derivabila partial de ordin qin raport cu variabila x_k daca toate derivatele partiale de ordin q-1 sunt derivabile in raport cu x_k.

Derivatele partiale de ordin superior, calculate in raport cu cel putin doua variabile diferite, se numesc derivate partiale mixte.

Am definit in cap 11.2 notiunea de functie de clasa C¹ pe un deschis D din Rⁿ.In acelasi mod, vom putea defini notiunea generala de functie de clasa C^q pe D (q≥2).

Definitia2

Fie D un deschis din Rⁿ si f:D.Spunem ca f este de clasa C^q pe D (q≥2) daca f este derivabila partial de ordin q (in raport cu toate variabilele) pe D si toate derivatele partiale de ordin q sint continue pe D.

Multimea functiilor de clasa C^q (q≥2) pe D o vom nota prin C^q(D).

Daca notam prin C⁰(D) multimea functiilor continue pe D, rezulta ca orice functie de clasa C¹ este si de clasa C⁰. In adevar, daca fC¹(D), atunci f este diferentiabila conform criteriului de diferentiabilitate (vezi th 11.2.7), deci si continua.

Tinand seama de aceasta observatie, rezulta ca orice functie de clasa C^q pe D este,in acelasi timp, si o functie de clasa C^q-1.

Definim functiile de clasa C^∞ pe D (numite si functii indefinite derivabile partial pe D) drept functii de clasa C^q pe D pentru orice q=0,1,2,,,, obtinem urmatorul sir de incluziuni

C^∞(D) C^q(D)C^q-1(D) C¹(D)C⁰(D).

In exemplul 1 am vazut ca derivatele partiale mixte de ordin 2 sunt egale doua cate doua ( ); remarcam,insa, ca acest lucru nu este adevarat intotdeauna.Pentru aceasta sa analizam

Ex2.

Fie functia

f(x,y)=

Observam direct prin calcul ca

pentru (x,y)(0,0),

iar pentru (x,y) (0,0),

de unde iar x,y0.

Sa studiem derivabilitatea partiala a functiei f in (0,0).

Avem

si

Prin urmare ,

Sa calculam acum derivatele mixte de ordin 2 in (0,0):

si

Se observa ca

In continuare , vom indica anumite cinditii suficiente care sa asigure egalitatea derivatelor partiale mixte de ordin doi intr-un punct.

Teorema1 (teorema lui Schwarz)

Fie D un deschis din Rⁿ si f:DR.Daca f are derivatele partiale mixte si (ij) intr-o vecinatate a unui punct a finite si daca functiile si sunt continue in a, atunci

(3) (a)= (a).

Dem.

EtapaI. Vom demonstra , mai intai, teorema entru n=2.In acest caz vom consudera f de variabile x si y in loc de x₁,x₂.

Fie a=(a₁,a₂) si fie V=S(a,r) o vecinatate a lui a pe care exista functiile . Daca (x,y) este un punct arbitrar din V a.i. xa₁ si ya₂ sa consideram urmatoarea expresie:

(4)E(x,y)=f(x,y)-f(a₁,y)-f(x, a₂)+f (a_1, a₂).

Observam ca exista un interval deschis IR ce contine pe a₁ a.i. pentru orice upunctele (u,y) si (u,a₂) apartin lui V.

Definim functia

(5) =f(u,y)-f(u,a₂), pentru uI.

Desen

Atunci E(x,y)=

Cum f este derivabila partial in raport cu x pe V rezulta ca satisface conditiile teoremei lui Lagrange pe intervalul [x,a₁] (sau [a₁,x]).Atunci , exista un punct (x,a₁) (sau (a₁,x)) a.i.

(6)      E(x,y)= =(x-a₁) '().

Dar din (5) '()=, care inlocuita in relatia (6) da

(7)      E(x,y)=(x-a₁)[ ].

(8)      Observam, acum , ca functia , definite pe un interval deschis JR astfel ales incat a₂si pentru orice vJ punctual ( V, satisface si ea conditiile teoremei lui Lagrange pe intervalul [y,a₂](sau [a₂,y]) intrucat exista pe V.

Si atunci , din (7) obtinem

(8) E(x,y)= (x-a₁)[ ]=(x-a₁)(y-a₂)

=(x-a₁)(y-a₂)

Unde (sau (a₂,y))

Inversand rolurile celor doua variabile x,y si facand un rationament complet analog, vom gasi un punct (x,a₁) ( sau (a₁,x)) si un punct (y,a₂) ( sau (a₂,y)) a.i.

(9) E(x,y)=( x-a₁)( y-a₂)

Din relatia (8) si (9) gasim

(10)

Fie acum, un sir de puncte (x_n,y_n)V a.i. (x_n,y_n)(a₁,a₂) cu x_na₁ si y_na₂ .

Din consideratiile de mai sus, vom obtine punctele din intervalul (x_n,a₁) (sau (a₁,x_n)) si punctele din intervalul (y_n,a₂) (sau (a₂,y_n)) pentru n a.i. sa aiba loc

(10') n

Cum (x_n,y_n)(a₁,a₂), rezulta ca si deci

( a₁,a₂), ( (a₁,a₂).

Facand n in (10') si tinand seama de continuitatea in a a functiilor si , obtinem (a₁,a₂)= (a₁,a₂).

Etapa a-II-a.

Daca n>2, fara a micsora generalitatea, putem presupune ca i<j.Fie a=(a₁,a₂,..,a_n) si fie functia

g(x,y)=f(a₁,.,a_i-1,x,a_i+1,.,a_j-1,y,a_j+1,.,a_n), definite pe un deschis ce contine punctual (a_i,a_j).Aplicand rezultatul obtinut in etapa I functiei g, avem

, cu care teorema este complet demonstrate.

Corolar1

Fie D un deschis din Rⁿ si fie f:DDaca f este de clasa C¹ pe D si derivatele partiale si (ij) exista si sunt continue pe D, atunci

Corolar2

Daca f C^q(D), atunci derivatele partiale mixte de ordin ≤q nu depend de ordinea de derivare.

Teorema2 (Criteriul lui Young)

Fie D un deschis din Rⁿ si f:D.Daca f este derivabila partial pe o vecinatate V a punctului a iar derivatele partiale i=, sunt diferentiabile in punctul a, atunci exista derivatele partiale mixte de ordinal doi si sunt egale in a.

Dem.

La fel ca in demonstratia criteriului lui Schwarz putem reduce consideratiile la cazul n=2.De asemenea, vom lua a=(a₁,a₂), (x,y) un punct arbitrar din V cu xa₁, ya₂ si E(x,y) ca in (4). Utilizand aceeasi functie auxiliara si repetand rationamentul facut in demonstratia criteriului lui Schwarz, rezulta ca exista (x,a₁) (sau (a₁,x)) astfel ca sa aiba loc

(7) E(x,y)=( x-a₁)[

Adunand si scazand in paranteza (a₁,a₂), avem

(11)E(x,y)= (x-a₁) [

Intrucat este diferentiabila in punctul (a₁,a₂),rezulta ca exista o functie a.i. iar

(12) pentru

Utilizand aceasta relatie in (11), obtinem

E(x,y)=

=(x-a₁)[( (a₁,a₂)+(y-a₂)

(y-

(x-a₁)[(y-

Pe de alta parte , si este o funtie diferentiabila pe V si atunci exista o functie a.i. , iar

(14)

Inversand rolurile celor doua variabile x si y tinand seama de (14), vom obtine

(15) E(x,y)= (y-a₂)[(x-a₁)

unde (y,a₂) ( sau (a₂,y)).

Din (13) si (15) obtinem

(x-a₁)[(y- +(x-a₁) (x-a₁)=

(x-a₁)[(y- + (y- ((y-

Impartind prin (x-a₁)(y-) ambii membrii ai ultimei egalitati avem:

(16)

Luand , acum, un sir (x_n,y_n)(a₁,a₂), cu x_na₁, y_na₂ a.i. |x_n-a₁|=|y_n-a₂|, rezulta ca pentru orice n exista un (sau (a₁,x_n))si un (sau (a₂,y_n)) a.i. sa aiba loc (16) , adica

(16')

Facand n in (16') si tinand seama ca , iar

| ≤1, ||≤1, rezulta ca , adica tocmai ceea ce trebuia demonstrat.

Corolar3

Fie D un deschis din Rⁿ si f:D.Daca f este derivbila partial pe D (in raport cu toate variabilele), iar functiile , i=, sunt diferentiabile pe D, atunci exista toate derivatele partiale de ordinal doi iar cele mixte sunt egale doua cate doua pe D.

Observatii!

1. Se observa ca daca D este un deschis din Rⁿ, f:D admite derivate partiale de ordin doi pe o vecinatate V a unui punct a care sunt continue in a, atunci derivatele partiale de ordin 1, , i=, avand derivate partiale de ordin 1 continue in a, sunt functii diferentiabile in a si atunci, conform criteriului lui Young, derivatele partiale mixte de ordin 2 sunt egale doua cate doua in punctul a.

2. Criteriile lui Schwarz si Young au campuri de aplicabilitate diferite, ambele asigurand egalitatea deriavtelor mixte.Se observa, insa , ca pentru functii de clasa C² pe deschisul D sunt aplicabile ambele criterii.

Definitia3

Fie f:D, unde D este un deschis din Rⁿ.

I. Spunem ca f este de q (q≥2) ori diferentiabila intr-un punct adaca f este de q-1 ori diferentiabila partial intr-o vecinatate V a lui a, iar toate derivatele partiale de ordin q-1 ale lui f sunt diferentiabile in a.

II. Spunem ca f este de q ori diferentiabila pe D daca este de q ori diferentiabila in orice punct a

Observatie!

Din criteriul lui Young rezulta ca daca f este diferentiabila de q ori in punctul a atunci exista toate derivatele partiale de ordin q in punctual a iar derivatele partiale mixte de ordin ≤ q nudepind de ordinea de derivare.

Propozitia1

Daca f:D, unde D este un deschis din Rⁿ , este derivabiola partial de ordin q pe D si daca derivatele partiale de ordin q sunt continue in a, atunci f este diferentiabila de ordin q in punctul a.

Dem.

Intrucat f este derivabila partial de ordin q in punctul a,rezulta ca exista derivatele partiale de ordin q-1 pe o vecinatate V a lui a.In plus, aceste derivate partiale rivate partiale pe V, care sunt continue in a, ceea ce asigura ca derivatele partiale de ordin q-1 sunt diferentiabile in a. Conform definitiei 3, f este de q ori diferentiabila in punctul a.

Am vazut in cap 11.2 ca pentru o functie f diferentiabila intr-un punct a are loc egalitatea

f(a)(h)=h₁h₂.+h_n, h=(h₁,h₂,.,h_n)Rⁿ

Tinand seama de definitia diferentiabilitatii de ordin q intr-un punct, este naturat sa consideram urmatoarea definitie a diferentialei de ordin q a unei functii intr-un punct:

Definitia4

Fie f:D, unde D este un deschis din Rⁿ , o functie de q ori diferentiabila intr-un punct aNumim diferentiala de ordin q a functiei f in punctul a functia d^qf(a):RⁿR definite prin

(17) d^qf(a)(h)=( h₁h₂.+h_n)^(q) , Rⁿ, unde notatia din membrul al doilea inseamna ca expresia din paranteza se ridica, formal, la puterea simbolica q dupa o formula clasica de tip "binomila" in care puterea semnfica ordinal de derivare.

Astfel

() ^(q) reprezinta

)^(q-1)( ) reprezinta

)^(q-1)( )⁽²⁾ reprezintaetc...,

sau, in general,

( reprezinta

Unde

Observatii!

1. In formula (17) derivatele partiale mixte de ordin ≤ q sunt egale in baza corolarului3.

2. In cazul q=2 , d²f(a) este o forma patratica d²f(a)(h)=Rⁿ.

Matricea asociata acestei forme patratice , adica

H=[]_1≤i,j≤n se numeste matricea hessiana a lui f in a si, conform observatiei1, este o matrice simetrica.

3. In cazul q=3, d³f(a)(h)= Rⁿ.

4. Formula (17) se mai poate scrie si sub forma

(17') d^qf(a)(h)=[]^(q), Rⁿ,

Sau , punand h_k=pr_khd(pr_kh)=dx_k(a), sub forma

(17'') d^qf(a)(h)=[]^(q), Rⁿ.

Daca (17'') are loc pentru Rⁿ si , atunci o putem scrie si sub forma condensata

(18)      d^qf=[]^(q).

5. Pentru n=2, daca f:D, unde D este un deschis din R², formula (17) devine

(19) d^qf(a)(h)=( h₁h₂)^(q), R²,

formula (17'') devine

(20) d^qf(a)(h)=()^(q) ,

iar (18) devine

(21)d^qf=()^(q) .

Ex2.

Sa se scrie diferetialele de ordin 1 si 2 in punct current pentru functia f:R³R definita prin

f(x,y,z)=cos(x+2y+3z).

Sa calculam , mai intai, derivatele partiale de ordin1. Avem

si

de unde

df=-sin(x+2y+3z)dx-2sin(x+2y+3z)dy-3sin(x+2y+3z)dz.

Sa determinam diferentiala de ordin 1 in punctual a=().

Avem df(a)=-sin

Pentru a determina d²f sa calculam derivatele partiale de ordin 2. Obtinem

Atunci

d²f=-cos(x+2y+3z)(dx²+4dy²+9dz²+4dxdy+6dxdz+12dydz).

Teorema3 (Formula lui Taylor)

Fie D un deschis din Rⁿ, f:DR o functie de q+1 ori diferentiabila pe D, a un punct din D si S(a,r) o sfera deschisa inclusa in D.Atunci, pentru orice xS(a,r) exista un punct apartinand segmentului determinat de punctele a si x ([a,x]) a.i.

(22) f(x)=f(a)+

Dem.

Fie v=(v₁,v₂,.,v_n) un versor din Rⁿ. Daca t, atunci x=a+tvS(a,r)

Sa consideram functia

(23) f(a+tv)=f(a₁+tv₁,a₂+tv₂,..,a_n+tv_n),

Intrucat f este de (q+1) ori diferentiabila rezulta ca si este de (q+1) ori diferentiabila pe (-r,r).

Sa calculam cele q+1 derivate ale lui .Observam ca

v₁v₂ .+v_n

apoi

=[]⁽²⁾= ]⁽²⁾.

Procedand inductive obtinem

(24) ]^(k) pentru k=1,2,.,q+1.

Sa aplicam formula lui Maclurin cu restul lui Lagrange functiei Obtinem pentru

exista un (sau (t,0)) a.i.

(25).

Tinand seama ca x=a+tv x-a=tv, din (24) avem

t

=(x₁-a₁)

=df(a)(x-a)

t²

=[(x₁-a₁) ]⁽²⁾=d²f(a)(x-a)

t^q d^qf(a)(x-a)

si

t^q+1= t^q+1[]^(q+1)=

=[]^(q+!)=

=[(x₁-a₁) ]^(q+1)=

=d^q+1f()(x-a),

unde a+v[a,x], care, inlocuite in (25), conduc la

f(x)=f(a)+

adica tocmai relatia (22) ce trebuia demonstrate ( si

In particular, obtinem

Teorema4

Daca D este un deschis din R², f:D o functie de doua ori diferentiabila pe D, si a=(a₁,a₂) atunci exista un r>0 a.i. pentru orice punct (x,y)S(a,r)D are loc relatia

(22') f(x,y)=f(a₁,a₂)+), unde este un punct situate pe segmentul ce uneste punctele (a₁,a₂) si (x,y).