|
|
|
ELEMENTE DE MATEMATICI ACTUARIALE
1.DEFINITII
Riscul reprezinta o problema de mare importanta a societatii contemporane fiind un efect al dezvoltarii economice, al degradarii mediului inconjurator, al calamitatilor naturale si al accidentelor.
Existenta oricarui risc atrage necesitatea asigurarilor, care ofera posibilitatea de evitare a riscului sau a consecintelor nedorite ale acesteia.
Sistemul de asigurari se defineste ca fiind totalitatea institutiilor care pe baza unor norme si garantii ofera persoanelor asigurate posibilitatea recuperarii pierderilor provocate de accidente sau calamitati naturale precum si surse financiare suplimentare de existenta in cazul incapacitatii de munca sau in caz de deces.
Sistemele de asigurari presupun existenta unor fonduri de asigurari. Aceste fonduri se realizeaza prin varsaminte financiare ale persoanelor fizice si ale persoanelor juridice.
Din punct de vedere al naturii lor asigurarile pot fi:
14 obligatorii
15 facultative
Asigurarile obligatorii sunt prevazute prin lege in timp ce asigurarile facultative se realizeaza pe baza intelegerii intre parti.
In sens general, indiferent de natura lor asigurarile pot fi:
16 asigurari de persoane
17 asigurari de bunuri
Asigurarile de persoane pot fi:
18 asigurari de accidente
19 asigurari de viata
Asigurarea se stabileste prin lege sau prin contract de asigurare intre asigurator si asigurat.
Contractul sau legea de asigurare prevede conditii de asigurare sau obligatii precise pentru fiecare parte contractanta.
Operatiile de asigurari presupun probleme de ordin juridic, de ordin tehnic si de ordin economic.
Matematicile actuariale au ca obiect de studiu rezolvarea problemelor de ordin economic referitoare la asigurari. Matematicile actuariale au la baza elemente ale teoriei probabilitatilor si ale statisticii matematice.
Relatia asigurat - asigurator presupune obligatia asiguratului de a plati la termenele stabilite prin lege sau prin contract primele de asigurare asiguratorului, acesta avand obligatia de a plati suma asigurata la termenul stabilit sau in momentul in care se produce evenimentul (riscul) asigurat.
In situatia asigurarilor de persoane, asiguratul plateste primele de asigurare numai cat se afla in viata sau pana la expirarea termenului de asigurare.
Primele de asigurare pot fi unice sau periodice.
Primele de asigurare unice se platesc o singura data pentru tot timpul asigurarii, iar primele de asigurare periodice se platesc anual, trimestrial sau lunar.
Prin prima unica de asigurare se intelege valoarea medie a sumelor platite de asigurat.
2.FUNCTII BIOMETRICE
Valorile primelor de asigurare pentru asigurarile de viata se stabilesc prin introducerea in calcule ai unor factori reprezentati prin diferite constante statistice determinate de societatile de asigurare.
Mortalitatea este unul dintre acesti factori si este influentat de conditiile de viata, varsta, profesie, sex.
Pentru o anumita colectivitate, mortalitatea se determina cu ajutorul unor variabile scalare numite functii biometrice.
3. TEOREMA COMPUNERII CONTRACTELOR
Daca A este o
asigurare de viata compusa din asigurarile partiale 
iar 
sunt primele
corespunzatoare asigurarilor partiale atunci valoarea primei
totale pentru asigurarea de viata A este:
Demonstratie
Sa notam cu: X - valoarea actuala a sumelor pe care institutia de asigurari le va incasa
pentru asigurarea A.
- valoarea actuala a sumelor partiale
care urmeaza sa fie incasate pentru
asigurarile partiale 
Sumele se platesc daca asiguratul este in viata.
Primele de asigurare
fiind valori medii ale variabilelor aleatoare X, respectiv se poate
scrie:
Avand in vedere ca:
Obtinem:
Rezulta ca:
4. CALCULUL PRIMELOR LA ASIGURARILE DE PERSOANE
4.1. Prime nete unice, cu plata unica, in asigurarile individuale de supravietuire
Asigurarea se defineste ca fiind un procedeu de creare a fondului de asigurare prin prima de asigurare in vederea compensarii pierderilor provocate de calamitati si accidente.
Sa considera o
populatie de indivizi de aceeasi varsta - x - (ani) pe care o
notam cu 
Fie A evenimentul ca o persoana din 
sa fie in viata la implinirea
varstei de (x+1) ani. Probabilitatea de viata este
probabilitatea evenimentului A.
Asigurarea (prima neta unica unitara) prin care asiguratul in varsta de - x - ani va primi la implinirea varstei de (x n) ani suma de 1 u.m. se calculeaza cu relatia:
Se noteaza cu 
expresia:
Obtinem:
Notatiile au urmatoarele semnificatii:
- prima neta unica unitara
- functia de supravietuire
- factor anual de actualizare
- numarul de ani
- numar de comutatie
Numerele de
comutatie sunt
indicate in tabele financiare.
Prima neta
unica (P) pentru suma asigurata 
se calculeaza cu relatia:
Aplicatie:
O persoana cu
varsta de x=20 ani incheie o asigurare
de supravietuire pentru n=10 ani, suma asigurata fiind 
RON. Sa
se calculeze prima neta unica P, daca se cunosc numerele de
comutatie: 
si 
4.2. Prime nete unice, cu plati esalonate viagere, in asigurarile individuale de supravietuire
Anuitati viagere imediate, nelimitate si anticipate
Se calculeaza cu relatia:
- reprezinta prima neta unica
platita de un asigurat cu varsta de x (ani) pentru asigurarea prin
care urmeaza sa primeasca pe toata durata vietii sale,
la inceputul fiecarui an cate 1 u.m.
Anuitati viagere imediate, nelimitate si posticipate
Se calculeaza cu relatia:
- reprezinta prima neta unica
unitara platita de
asigurat in varsta de x (ani) pentru asigurarea prin care urmeaza
sa primeasca pe toata durata vietii sale, la sfarsitul
fiecarui an cate 1 u.m.
Anuitati viagere imediate, limitate si anticipate
Se calculeaza cu relatia:
-
reprezinta prima neta unica unitara platita de
asiguratul in varsta de - x - ani pentru asigurarea prin care urmeaza
sa primeasca in urmatorii - n - (ani) , la inceputul
fiecarui an, cate 1 u.m.
Anuitati viagere imediate, limitate si posticipate
Se calculeaza cu relatia:
-
reprezinta prima neta unica unitara platita de
asigurat in varsta de - x - (ani) pentru asigurarea prin care urmeaza
sa primeasca in urmatorii - n - (ani) , la sfarsitul
fiecarui an, cate 1 u.m.
Anuitati viagere amanate, nelimitate si anticipate
Se calculeaza cu relatia:
- reprezinta prima neta unica
unitara platita de asiguratul in varsta de - x - (ani)
pentru asigurarea prin care urmeaza sa primeasca, daca este
in viata, peste - n - (ani) pe toata durata vietii sale, la
inceputul fiecarui an, cate 1 u.m.
Anuitati viagere amanate, nelimitate si posticipate
Se calculeaza cu relatia:
- reprezinta prima neta unica
unitara platita de asiguratul in varsta de - x - (ani)
pentru asigurarea prin care urmeaza sa primeasca, daca este
in viata, peste - n - (ani) pe toata durata vietii sale, la
sfarsitul fiecarui an, cate 1 u.m.
Anuitati viagere anticipate, amanate - r - (ani) si limitate la - n - (ani)
Se calculeaza cu relatia:
- reprezinta prima neta unica
unitara platita de asigurat in varsta de - x - (ani) pentru
asigurarea prin care urmeaza sa primeasca (daca este in
viata) peste - r - (ani) timp de - n - (ani), la inceputul
fiecarui an, cate 1 u.m.
Anuitati viagere posticipate, amanate - r - (ani) si limitate la - n - (ani)
Se calculeaza cu relatia:
- reprezinta prima neta unica
unitara platita de asiguratul in varsta de - x - (ani)
pentru asigurarea prin care urmeaza sa primeasca (daca este
in viata) peste - r - (ani) timp de - n - (ani), la sfarsitul
fiecarui an, cate 1 u.m.
Aplicatie
O persoana in
varsta de 40 ani incheie o asigurare prin care urmeaza ca de la
implinirea varstei de 60 ani sa primeasca o renta viagera
anuala posticipata de 1000 RON. Cunoscand numerele de comutatie:
, sa se calculeze prima neta unica
(P) platita de asigurat.
4.3. Prime nete unice in asigurarile de deces
Asigurarea de deces nelimitata
Aceasta asigurare este cunoscuta si sub denumirea de asigurare pe viata.
Se calculeaza cu relatia:
- reprezinta prima neta unica
unitara aferenta asigurarii cu suma de 1 u.m. platita
beneficiarului asigurarii la mijlocul anului de deces al asiguratului.
Asigurarea de deces temporara
Aceasta asigurare este cunoscuta si sub denumirea de asigurare de deces limitata.
Se calculeaza cu relatia:
- reprezinta prima neta unica
unitara aferenta asigurarii cu suma de 1 u.m. platita
beneficiarului asigurarii la mijlocul anului de deces al asiguratului, daca acesta
decedeaza in perioada de valabilitate a asigurarii (n - ani)
In functie de modul in care se face plata sumei asigurate, prima neta unica poate fi anticipata sau posticipata.
Asigurarea de deces amanata - n - ani
Aceasta asigurare se calculeaza cu relatia:
- reprezinta prima neta unica
unitara pentru suma asigurata de 1 u.m. platibila la
mijlocul anului de deces al asiguratului si care intra in vigoare peste n - ani.
Asigurarea de deces amanata r - ani si limitata la n -ani
Aceasta asigurare se calculeaza cu relatia:
Asigurarea de deces nelimitata cu plata la momentul decesului
Aceasta asigurare se calculeaza cu relatia:
i - dobanda instantanee
- reprezinta prima neta unica
unitara pentru suma asigurata de 1 u.m. platibila la
momentul decesului asiguratului.
Aplicatie
O persoana in
varsta de x=45 ani incheie o asigurare de deces pentru n=10 ani prin care
urmasii sai sa primeasca in cazul decesului sau suma 
RON.
Cunoscand numerele de comutatie: 
Sa se calculeze prima neta unica (P).
4.4 Prime nete unice in asigurarile mixte
Asigurarea mixta generala
Aceasta asigurare se calculeaza cu relatia:
- reprezinta prima neta unica a
asigurarii mixte pe - n - (ani) prin care institutia
plateste suma de - 
- u.m.
daca asiguratul este in viata peste - n - ani sau
suma de - 
- u.m. la
decesul asiguratului daca acesta a survenit inainte de
momentul - n.
Asigurarea mixta cu suma dubla
Aceasta asigurare se calculeaza cu relatia:
- reprezinta prima neta unica a
asigurarii mixte cu suma dubla prin care institutia
de asigurari plateste suma de 1 u.m. daca asiguratul este in viata peste n - ani
sau suma de 1 u.m. la decesul asiguratului daca acesta a survenit inainte de
momentul n, iar in cazul supravietuirii asiguratului la scadenta politei institutia
de asigurari ii ofera acestuia gratuit o asigurare de deces nelimitata.
Asigurarea mixta cu termen fix
Aceasta asigurare se calculeaza cu relatia:
- reprezinta prima neta unica a
asigurarii mixte cu termen fix de n - ani prin care
institutia de asigurari plateste la scadenta politei suma de 1 u.m. daca asiguratul
este in viata peste n - ani sau suma de 1 u.m. la decesul asiguratului daca acesta
a survenit inainte de momentul n.
Asigurarea mixta cu termen fix si suma dubla
Aceasta asigurare se calculeaza cu relatia:
- reprezinta prima neta unica
unitara prin care institutia de asigurari plateste
la termenul fix de n - ani 1 u.m. daca asiguratul este in viata si, ulterior,
aceeasi suma urmasilor sai la decesul asiguratului oricand acesta s-ar
produce, fara ca asiguratul sa mai plateasca in plus daca a supravietuit
termenului contractului.
Aplicatie
O persoana avand
varsta x=35 ani incheie o asigurare mixta cu suma dubla care
prevede ca institutia de asigurari sa-i plateasca
peste n=15 ani suma 
RON
daca este in viata sau sa plateasca
urmasilor sai, la sfarsitul trimestrului in care se va produce
decesul sau, suma 
RON. Cunoscand numerele de comutatie: 
, sa se determine prima neta unica
(P) platita de asigurat.
Bibliografie
1. Baciu A. - "Matematici economice si financiare", Editura fundatiei "Romania de
Maine", Bucuresti, 2003
2. Grama I.G. - "Asigurari si
reasigurari", Editura "Europolis",
3. Matei A. - Curs de matematici pentru studentii economisti , Editura fundatiei
"Romania de Maine", Bucuresti, 1998
4.
