didactic - Clasa: a X-a (Matematica - Informatica), Functii si ecuatii

Proiect didactic

Unitatea de invatamant: Grup Scolar Industrial Transporturi Cai Ferate Galati

Data: 03.12.

Clasa: a X-a (Matematica - Informatica)

Disciplina: Matematica

Unitatea de invatare: Functii si ecuatii

Subiectul lectiei: Ecuatii exponentiale

Tipul lectiei: Mixta

Durata lectiei: 50 de minute

Locul de desfasurare: Sala de clasa

Competente specifice:

Trasarea prin puncte a graficelor unor functii

- Prelucrarea informatiilor ilustrate prin graficul unei functii in scopul deducerii unor proprietati ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate, continuitate, convexitate).

Utilizarea de proprietati ale functiilor in trasarea graficelor si rezolvarea de ecuatii.

Competente derivate (Obiective operationale):

C1 Utilizarea proprietatilor functiei exponentiale

C2 Rezolvarea ecuatiilor exponentiale folosind injectivitatea functiei exponentiale

C3 Rezolvarea ecuatiilor exponentiale folosind metoda substitutiei

C4 Rezolvarea ecuatiilor exponentiale folosind metode combinate

Strategia educationala:

- metode si procedee: conversatia, explicatia, demonstratia, exercitiul, problematizarea

- forme de organizare: frontala, individuala

- mijloace de invatamant: manualul, fise de lucru

Bibliografie :

1. C. Udriste (coord.), Matematica, Manual pentru clasa a X-a, Editura Fair Partners, Bucuresti, 2005.

2. ***, Fise cu probleme din arhiva personala

Anexe: Schema pe tabla, fise de lucru

Anexa 1

Schema pe tabla

Verificarea cunostintelor anterioare

Se rezolva la tabla:

Sa se stabileasca monotonia functiilor: definite prin:

a); b) .

Rezolvare.

a) Functiaeste strict crescatoare fiind suma a doua functii strict crescatoare:

si . (Exponentiala cu baza supraunitara este strict crescatoare.)

b) Functia este strict descrescatoare fiind suma a doua functii strict descrescatoare:

si . (Exponentiala cu baza subunitara este strict descrescatoare.) 

Predarea - invatarea noilor cunostinte

Intr-o definire neformala, o ecuatie exponentiala este o ecuatie in care necunoscuta apare numai la exponent.

Tipuri de ecuatii exponentiale

1. Ecuatii exponentiale de forma , ,

Rezolvare. In baza injectivitatii functiei exponentiale, ecuatia este echivalenta cu ecuatia .

Exemplu. , . 

2. Ecuatii exponentiale de forma , ,

Rezolvare. Notam .

Daca ecuatia nu are solutii (deoarece exponentiala ia numai valori pozitive).

In cazul , in baza bijectivitatii functiei exponentiale (considerata cu codomeniul ), ecuatia are solutie unica . Rezolvarea ecuatiei initiale se reduce astfel la ecuatia .

Exemple. a) Ecuatia nu are solutie.

b) .

c) care are solutiile si .

d) care nu are solutii reale. 

Observatie. In cazul , ecuatiile de tipul 2 sunt cazuri particulare de ecuatii de tip 1. Luam .

3. Ecuatii exponentiale de forma , ,

Rezolvare. Se noteaza si se obtine ecuatia: .

Exemplu.

Notam . Obtinem ecuatia , cu solutiile si . Revenind la substitutia facuta,



4. Ecuatii exponentiale cu solutie unica

Rezolvare. Ecuatia se aduce la forma , unde este o functie strict monotona, iar o constanta. Se gaseste prin observatie directa o solutie a ecuatiei, solutie care este unica datorita injectivitatii lui .

Exemplu. care are solutia . Cum functia , este strict crescatoare (ca suma de functii strict crescatoare) rezulta ca este injectiva, deci este unica solutie a ecuatiei date. 

Fixarea noilor cunostinte

Elevii vor rezolva urmatoarele exercitii din fisa de lucru, precizand mai intai tipul fiecarei ecuatii: 1c, 1e, 2a, 2g.

Tema pentru acasa:   Ex.1: a, b, d, f, g , Ex.2: b, d, e, f din fisa.

Anexa 2

Fisa de lucru

Ecuatii exponentiale - Clasa a X-a

1. Sa se rezolve:

a) ; b) ; c) ;d) ;

e) ; f) ; g) .

2. Sa se rezolve:

a) ; b) ; c) ; d) ;

e) ; f) ; g) .