|
|
|
Progresii aritmetice
1. DEFINITIA PROGRESIEI ARITMETICE
Un sir de numere (A1 ,A2 ,. ,An ; n>=1) in care fiecare termen incepand cu al doilea ,se obtine din cel precedent prin adaugarea unui numar constant " r " ,numit ratie ,se numeste progresie aritmetica .
An+1 = An + r
2. NOTATIE : An -:
3. PROPRIETATI
P1: Intr-o progresie aritmetica termenul general An este egal cu primul termen plus de atatea ori ratia cati termeni sunt inaintea sa.
An = A1 + (n-1) * r
P2: Intr-o progresie aritmetica suma termenilor egali departati de extreme este egala cu suma extremelor . ee444e3569zeem
A1 + An = A2 + An-1 = . = Ai + An-i+1
P3: Daca avem trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice cel din mijloc este media aritmetica a celorlalti doi .
Ak = (Ak-1 + Ak+1) / 2
P4: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ultimul termen :
Sn = (A1 + An) *n / 2
P5: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ratia :
Sn = [ 2*A1 + (n-1)*r ]*n/2
4. APLICATII
Sa se scrie primii cinci termeni ai sirului , cu termenul al n-lea dat de formula :
a. An = 2(la puterea "-n ")
A0 = 2(la puterea "0") = 1
A1 = 2(la puterea "-1") = ½
A2 = 2(la puterea "-2") = 1/4
A3 = 2(la puterea "-3") = 1/8
A4 = 2(la puterea "-4") = 1/16
A5 = 2(la puterea "-5") = 1/32
b. Xn = 5+4*n
X0 = 5 X3 = 17
X1 = 9 X4 = 21
X2 = 13 X5 = 25
Sa se gaseasca formula termenului al n-lea (n>=1) pentru fiecare din sirurile :
a. 1, 3, 5, 7, 9, . ; => An = A1 + (n-1)*r = 1 + (n-1)*2 = 2*n -1
b. 2, 4, 6, 8, 10, . ; => An = A1 + (n-1)*r = 2 + (n-1)*2 = 2*n
c. 3, -3, 3, -3, . ; => An = 3* (-1)(la puterea n)
d. 1/3, 1/9, 1/27, 1/81, . ; => An = 1/3(la puterea n)
. Sirul (Xn), n>=1, are termenul general dat de formula
Xn = 6- 4*n .Este termen al acestui sir numarul :
a. -102 (DA)
6- 4*n = -102 => 4*n = 108 => n = 27
b. -132 (NU)
6- 4*n = -132 => 4*n = 138 => n = 138/4 (nu apartine numerelor naturale)
c. 100
6- 4*n = 100 => 4*n = -94 => n = -94/4 (nu apartine numerelor naturale)
. Sa se scrie primii patru termeni ai progresiei aritmetice (An), daca :
a. A1 = 7 , r = 2
A2 = A1 + r = 9
A3 = 11
A4 = 13
b. A1 = -3 , r = 5
A2 = A1 + r = 2
A3 = 7
A4 = 12
Sa se rezolve ecuatiile :
a. 1 + 7 + 13 + . +X = 280
An = A1 + (n-1)*r
X = 1 + (n-1)*6
X = 6*n -5
Sn = (A1 + An)*n/2 = 280
(A1 + X)*n/2 = 280 => (1 + 6*n-5)*n/2 = 280
6*n(la puterea 2) -4*n -560 = 0
D = 3364
=> n1 = 10 ; n2 = -28 (nu convine)
=>X = 6*10 -5 = 55
b. (X + 1) + (X+ 4) + (X + 7) + . + (X + 28) = 155
An = A1 + (n-1)*r
X + 28 = X + 1 + (n-1)*3
27 = (n-1)*3 => n = 10
S10 = (A1 + A10)*10/2 = 155 => 2*X + 29 = 31 => X = 1
Suma primilor n termeni ai unui sir oarecare (Bn) este data de formula Sn = n(la puterea 2) -2*n + 5. Sa se gasesca primii patru termeni ai acestui sir. Este acest sir o progresie aritmetica.
S1 = A1
S2 = A1 + A2
S3 = A1 + A2 + A3
Sn-1 = A1 + A2 + . + An-1
Sn = A1 + A2 + . + An-1 + An
A1 = S1 = 4
A2 = S2 - S1 = 1
A3 = S3 - S2 = 3
A4 = S4 - S3 = 5
2*A2 = A1 + A3 => 2 = 3 + 4 (F)
=>Sirul nu este o progresie aritmetica
Progresii geometrice
1. DEFINITIA PROGRESIEI GEOMETRICE
Fie un sir (Bn) n>=1 , B1<>0
Spunem ca termenii sirului (Bn) sunt in progresie geometrica daca fiecare termen incepand cu al doilea se obtine din precedentul inmultit cu un numar constant q >0, numit ratie.
Bn = Bn-1 *q
2. NOTATIE : :-: (Bn) n>=1
3. PROPRIETATI
P1: Daca avem " n " termeni ai unei progresii geometrice atunci Bn este egal cu primul termen ori q la o putere de cati termeni sunt inaintea lui.
Bn = B1 *q(la puterea n-1)
P2: Daca B1, B2, . , Bn sunt " n " termeni ai unei progresii geometrice atunci produsul termenilor egali departati de extreme este egal cu produsul extremelor.
B1*Bn = B2*Bn-1 = . = Bi*Bn-i+1
P3: Daca Bk-1, Bk, Bk+1 sunt trei termeni consecutivi pozitivi ai unei progresii geometrice atunci cel din mijloc este media geometrica al celorlalti doi.
Bk(la puterea 2) = Bk-1*Bk+1
R3: Daca 3 termeni consecutivi ai unui sir de numere pozitive verifica relatia cel di mijloc este media geometrica a celorlalti doi atunci siruleste o progresie geometrica.
P4: Suma primilor " n " termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este :
Sn = B1 * q(la puterea n)-1/q-1
4. APLICATII
. Sa se scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice (Bn) daca :
a. B1 = 6 , q = 2
B2 = B1*q = 12
B3 = B2*q = 24
B4 = B3*q = 48
B5 = B4*q = 96
b) B2 = -10 , q = 1/2
B1 = B2/q = -20
B3 = B2*q = -5
B4 = B3*q = -5/2
B5 = B4*q = -5/4
Sa se gaseasca primi doi termeni ai progresiei geometrice (Yn) , data astfel :
a. Y1, Y2, 24, 36, 54, . ;
36 = 24*q => q = 36/24 = 3/2
24 = Y2*q => 24 = Y2*3/2 => Y2 = 24*2/3 = 16
16 = Y1*q => 16 = Y1*3/2 => Y1 = 32/3
b. Y1, Y2, 225, -135, 81, . ;
-135 = 225*q => q = -135/225 = -9/17
225 = Y2*q => 225 = Y2*-9/17 => Y2 = -425
-425 = Y1*-9/17 => Y1 = 7225/9
Daca se cunosc doi termeni ai unei progresii geometrice (Bn) :
a. B3 = 6 , B5 = 24 , sa se gaseasca B7, B9, B10;
B3 = B1*q(la puterea 2)
B5 = B1*q(la puterea 4)
=> 6/24 = q(la puterea -2) => q = 2
B3 = B1*q(la puterea 2) => B1 = 3/2
=> B7 = B1*q(la puterea 6) = 3/2*64 = 96
=> B9 = B1*q(la puterea 8) = 3/2*256 = 384
=>B10 = B1*q(la puterea 9) = 3/2*512 = 768
Sa se scrie formula termenului al n-lea al progresiei geometrice date prin :
a. B1 = 2
Bn+1 = 3*Bn
Bn = B1*q(la puterea n-1) = 2*q(la puterea n-1)
Bn+1 = Bn*q => 3*Bn = Bn*q => q = 3
Bn = 2/3*3(la puterea n)
1. Rezolvati ecuatia : 1+X+X²+.+X¹ss = 0
Sn = 1*(1- X¹s¹)/(1- X)
1. X <>0 => X<>1
=> 1- X¹s¹ = 0 => X¹s¹ = 1 => X¹s¹ = cos0 +i*sin0
=> Xk = ¹s¹¶cos0 + i*sin0 = cos2k_/101 + i*sin2k_/101
k=0 => X=1 (nu convine)
k=1 => X=cos2_/101 + i*sin2_/101
k=100 => X=cos200_/101 + i*sin200_/101
1. Intr-o progresie geometrica avem S3= 40, S6= 60. Sa se gaseasca S9.
S3= B1*(q³-1)/(q-1)
S6= B1*(q -1)/(q-1)
=> S3/S6= (q³-1)/(q -1)= 2/3
=> 3*q³-3 = 2*q -2
=> 2*q +3*q³-1= 0
Notam: q³ = y
=> 2*y²-3*y+1= 0
Δ= 1 => y1=2, y2=1
=> q³=1 => q=1(nu convine)
=> q³=2 => q=³¶2
=> S3= B1*(q³-1)/(q-1)= 40 => B1=40(³¶2 -1)
=>S9= B1*(q -1)/(q-1) = 280
2. Sa se determine x astfel incat numerele a+x, b+x, c+x sa fie in progresie geometrica.
(b+x)² = (a+x)*(c+x)
b² + 2bx + x² = ac +ax +cx +x²
b²-ac = x( a+c-2b)
=> x =(b²-ac)/(a+c-2b)
3. Gasiti primul termen si ratia intr-o progresie geometrica daca:
A4 + A1=7/16
A3- A2 + A1=7/8
A1*q³ + A1=7/16 => A1(q³ + 1)=7/16
A1*q² -A1*q +A1=7/8 => A1(q² -q +1)=7/8
=> (q³+1)/(q² -q +1)=1/2 => q+1=1/2 => q= -1/2
=> A1(-1/8 +1) =7/16 => A1= 1/2
