ECUATII DIFERENTIALE

ECUATII DIFERENTIALE DE ORDINUL INTAI

Definitii

a) O ecuatie de forma

, (1)

unde e o functie necunoscuta , se numeste ecuatie diferentiala de ordinul intai (prescurtat e.d.).

b) Functia unde este un interval se numeste solutie a ecuatiei diferentiale (1) daca si numai daca este derivabila pe si ,

c) Graficul functiei este o curba plana ce se numeste curba integrala

d) Solutia generala a ecuatiei (1) este o functie derivabila

, , (2)

care este solutie a ecuatiei (1) pentru orice constanta . Graficul solutiei generale (2) este o familie de curbe plane numite curbe integrale . A rezolva e.d. (1) inseamna a gasi solutia generala (2) .

e) Daca solutia generala a ecuatiei (1) se poate calcula cu ajutorul primitivelor functiilor elementare atunci e.d. (1) se numeste integrabila prin cuadraturi

f) Se numeste solutie particulara a ecuatiei (1) o functie

(3)

care se obtine din solutia generala (2) pentru .

g) Problema lui Cauchy pentru o e.d. (1) este formata din ecuatia (1) plus o conditie (initiala)

A o rezolva inseamna a gasi solutia particulara (3) care satisface conditia , adica a gasi astfel incat . Constanta se inlocuieste in solutia generala (2) si se gaseste solutia particulara (3) a problemei Cauchy .

h) Se numeste solutie singulara a ecuatiei (1) o solutie care nu poate fi obtinuta din solutia generala (2) pentru nici o valoare a constantei C .

Tipuri de ecuatii diferentiale de ordinul intai

A. Ecuatii diferentiale de ordinul 1 rezolvate (sau rezolvabile) in raport cu

, , (4)

Interpretare geometrica

Daca e solutie a ecuatiei (4) cu graficul , atunci in fiecare punct panta tangentei la grafic este . Deci ecuatia (4) defineste o familie de curbe cu aceasta proprietate .

Teorema de existenta si unicitate pentru ecuatii diferentiale de ordinul 1

Fie punctul in plan si fie ecuatia , , . Daca este Lipschitziana in a doua variabila , adica exista astfel incat , , atunci exista si exista o unica functie astfel incat e solutie a ecuatiei (4) si satisface conditia ( e solutie a problemei Cauchy ). Altfel spus , prin trece o singura curba integrala .

I. Ecuatii cu variabile separate

(5)

• Daca are o radacina atunci e o solutie singulara a ecuatiei (5) .
• Daca , scriem ecuatia sub forma si integram

,

Aceasta este solutia generala a ecuatiei (5) .

Caz particular. . Ecuatia devine de unde , .

I Ecuatii cu variabile separabile

(6)

unde , , intervale . Impartim ecuatia cu (daca sunt nenule) . Ecuatia se scrie

integram si gasim , .

II. Ecuatii care provin din diferentiale totale (ecuatii diferentiale exacte)

(7)

unde functiile admit derivate partiale continue pe D si verifica conditia

(8)

Atunci exista functia , , continua , cu derivate partiale de ordinul doi continue pe D astfel incat

    (9)

Egalitatea (8) exprima relatia . Atunci ecuatia (7) se poate scrie

adica de unde se obtine ca solutia generala a ecuatiei este , k = const.

Pentru a afla functia F se pot folosi doua metode :

Metoda 1. Se integreaza una din ecuatiile din sistemul (9) , de exemplu prima :

Formula obtinuta se deriveaza in raport cu y si din se gaseste de unde se obtine prin integrare si apoi .

Metoda 2. Se foloseste direct formula urmatoare , unde

III. Ecuatii care pot fi transformate in ecuatii diferentiale exacte

Factor integrant

Sunt ecuatii de tip (7) pentru care nu este satisfacuta conditia (8) . Atunci se cauta un factor integrant , adica o functie cu care se inmulteste ecuatia (7) :

(8

Pentru ca ecuatia (8 ) sa fie o e.d. exacta se impune sa se verifice conditia

(9 )

• Daca expresia depinde doar de , se poate presupune ca si depinde doar de . Se cauta

S-a obtinut o ecuatie cu variabile separate din care se afla , se inlocuieste in (8 ) si se procedeaza ca la ecuatia diferentiala exacta .

• Daca expresia depinde doar de , se poate presupune

Se afla , se inlocuieste in (8 ), care este o ecuatie diferentiala exacta .