Functii diferentiabile

Functii diferentiabile

Fie Rⁿ=RR R

Sa consideram acum o functie f:DRⁿ, unde D este o multime deschisa din Rⁿ, n>1. Atunci definitia1 a derivabilitatii se va scrie , unde f(x)-f(a)Rⁿ si x-aRⁿ .

Observam ca definitia1 a derivabilitatii in punct nu mai are sens pentru f:RⁿRⁿ, intrucat x-a este in acest caz un vector, iar impartirea printr-un vector nu este definita.

Insa, observam ca definitia5 a diferentiabilitatii functiei f in punctul a, care este echivalenta cu definitia1 a derivabilitatii in punct, se poate extinde, fara nici un fel de dificultate , la cazul functiilor de mai multe variabile reale.

In acest caz, avem urmatoarea definitie:

Definitia1

Fie D o multime deschisa din Rⁿ(n≥1), F:DR^m(m≥1) si aD.

a) Spunem ca functia F este diferentiabila in punctul aD daca () o aplicatie liniara T:RⁿR^m a.i.

(1) =0

b) Spunem ca functia F este diferentiabila pe D daca F este diferentiabila in orice punct a D.

Vom nota x-a=h, h R, atunci forma (1) se mai poate scrie sub forma echivalenta:

(1') =0

De asemenea, daca notam cu (x)=

In acest caz, formula (1) se mai poate inca scrie si sub forma:

(2)F(x)=F(a)+T(x-a)+(x)||x-a||, () xDunde (x)=(a)=0

Sau

(2') F(a+h)=F(a)+T(h)+(a+h)||h||, () hRⁿa.i. a+hD iar (a+h)=(a)=0

Definitia2

Daca D este un deschis din Rⁿ si F:DR^m este diferentiabila in punctual aD, atunci aplicatia liniara T:RⁿR^m se numeste diferentiala functiei F in punctul a sau derivata Fréchet a functiei F in punctual a.

Vom notam: dF(a)

Observam ca hRⁿ , df(a):RⁿR^m dF(a)R^m

Atunci relatia (2') se scrie:

(2'') F(a+h)=F(a)+dF(a)(h)+||h||ˇ(h), unde ||h|| se numeste norma elementului h din Rⁿ si (h)0 (in R^m) , cand h0 (in Rⁿ).

Teorema1

Fie D un deschis din Rⁿ (n≥1). Daca aplicatia F:DR^m (m≥1) este diferentiabila in aD, atunc diferentiala sa in a este unica.

Dem.

Daca aplicatia F:DR^m (m≥1)este diferentiabila in aD rezulta conform definitiei () o aplicatie liniara T:RⁿR^ma.i. (1) =0.

Pp ca pe langa aplicatia liniara T care verefica relatia (1) ar mai () o aplicatie liniara S:RⁿR^m a.i.

(2) =0

Vom nota x-a=h (2') =0

Pentru h are loc:

≤ ≤

≤+

Facand h0 =0

=0

(3) =0

Observam ca: () yRⁿ , daca t>0 si t0 in R ty0 in Rⁿ.

Consideram y arbritar din Rⁿ cu y0 si h=ty din relatia (3)

0=

||S(y)-T(y)||=0, () y Rⁿ , adica S(y)=T(y) pentru yRⁿ de unde S=T.

In particular pentru y=0 S(0)=T(0)=0 S(y)=T(y), pentru y Rⁿ

In continuare vom analiza cateva proprietati generale ale functiilor diferentiabile.

Teorema2

Fie D un deschis din Rⁿ .Daca F:DR^m este diferentiabila in aD atunci F este continua in a.

Dem.

Cum F este diferentiabila in a, () o aplicatie liniara T:RⁿR^m si o aplicatie :DR^m cu a.i. F(x)=F(a)+T(x-a)+(x)||x-a||, ()xD

Teorema

Daca T:RⁿR^m este un operator liniar, atunci T este operatot continuu.

T=operator liniar continuu pe Rⁿ si, deci in a

=continua in a F este continua in a

Teorema3

Fie D un deschis din Rⁿ , n≥1 si F:DR^m , m≥1, in care F=(f₁,f₂,..,f_m) cu f_i:DR, i=.Functia F este diferentiabila in aDfunctiile f_i sunt diferentiabile in a si in acest caz

dF(a)=(df₁(a),df₂(a),..,df_m(a)), adica diferentiala lui f in a are drept componente diferentiale df_i(a) ca aplicatii liniare de la Rⁿ la R.

dem.

Daca F este diferentiabila in a, atunci () o aplicatie liniara T:RⁿR^m cu componentele (t₁,t₂,.,t_m) si o functie :DR^m cu componentele (,,..,) in care , a.i.(1) F(x)=F(a)+T(x-a)+||x-a|| , xD

Daca scriem pe componente vom obtine:

(2) ,xD, t_i:Rⁿ R(aplicatii liniare)

,i= formula 9 exprima tocmai conditia de diferentiabilitate a functiilor f_i in a si in plus cum T=(t₁,t₂,...,t_m) dF(a)=(df₁(a),df₂(a),..,df_m(a)).

Teorema4

Daca F:RⁿR^m este o functie constanta, atunci este diferentiabila pe Rⁿ iar in aRⁿ are loc: dF(a)=0

Dem.

Intrucat functia F este constanta () cRⁿ a.i.F(x)=c, xRⁿ

Atunci =0 F este diferentiabila

dF(a)=0 T(h)=0

Teorema5

Daca T:RⁿR^m , (n≥1,m≥1) este o aplicatie liniara, atunci dT(a)=T, aRⁿ .

Dem.

Cum T este aplicatie liniara T(a+h)=T(a)+T(h), a,hRⁿ

Atunci ==0 T diferentiabila in a dT(a)=T.

Teorema6

Daca F,G:DR^m, unde D este un deschis din Rⁿ, sunt diferentiabile in a si R, atunci F+G si F sunt diferentiabile in a si

a)    d(F+G)(a)=dF(a)+dG(a)

b)    d(F)(a)=dF(a)

dem.

a)    fie T=dF(a) S=dG(a)

stim ca: +=0 F+G diferentiabila in a d(F+G)(a)=T+S=dF(a)+dG(a).

b) d(F)(a)=dF(a)

notam T=dF(a)

F este diferentiabila

Atunci = F este diferentiabila in a d(F)(a)=dF(a)

Teorema7

Fie D un deschis din Rⁿ , F:DR si G:DR^m doua functii diferentiabile in aD.Atunci functia F:DRⁿ este diferentiabila in a si are loc

d(FG)(a)=F(a)dG(a)+dF(a)G(a)

dem.

Cum F si G sunt diferentiabile in a () o functie :DR cu (x)=0 a. i. F(x)=F(a)+dF(a)(x-a)+||x-a||(x), xD si () o functie :DR^m cu a.i. G(x)=G(a)+dG(a)(x-a)+||x-a||(x), xD.

Daca hRⁿ (dF(a)G(a))h=dF(a)(h)G(a) in care dF(a)(h)R si G(a)R^m , dF(a)G(a):RⁿR^m (operator liniar)

(FG)(x)=F(x)ˇG(x)=[F(a)+dF(a)(x-a)+||x-a||]ˇ[G(a)+dG(a)(x-a)+||x-a||]=(FG)(a)+(x-a)[F(a)dG(a)+dF(a)G(a)]+||x-a||G(a)+||x-a||dG(a)(x-a)+||x-a||² +||x-a||F(a)+dF(a)(x-a)||x-a||+dF(a)(x-a)dG(a)(x-a)

Notam =G(a)+dG(a)(x-a)+||x-a||+F(a)+dF(a)(x-a)+ , x≠a.

F(a)dG(a)+dF(a)G(a):RⁿRⁿ (operator liniar) d(FG)(a)=dF(a)G(a)+F(a)dG(a).