|
|
|
Daca avem media distributiei de esantionare si abaterea standard a acesteia (calculata ca eroare standard a mediei), atunci putem exprima media unui esantion oarecare, ca scor standardizat z, intr-o maniera similara cu scorul standardizat z pentru o valoare oarecare. Vom putea vedea astfel in ce masura media esantionului in studiu se indeparteaza de media populatiei de referinta. Altfel spus, in ce masura rezultatul obtinut pe esantion este unul "obisnuit" (mai aproape de media populatiei) sau unul "neobisnuit" (mai indepartat de media populatiei).
Formula de calcul este foarte asemanatoare cu formula lui z pentru valori individuale:
m este media esantionului
m este media de esantionare (care la limita tinde spre media populatiei)
sm este eroarea standard a mediei de esantionare.
De regula, pentru ca nu se poate calcula abaterea standard a populatiei, se accepta faptul ca aceasta este "suficient de bine reprezentata" de abaterea standard a esantionului extras din populatia respectiva. Ca urmare, putem utiliza in formula erorii standard a mediei abaterea standard a esantionului
Exemplu:
La un examen de verificare a cunostintelor, o grupa de 45 de subiecti obtine un scor mediu de m=28.5 puncte. Presupunand ca media pe populatia care a mai dat acest examen (calculata de-a lungul anilor anteriori) este m=27.3, cu o abatere standard s=8.2, trebuie sa aflam care este performanta grupei respective transformata in note z.
Calculam mai intai abaterea standard a mediei:
Calculam apoi scorul z pentru grup:
Daca vrem sa stim unde se plaseaza performanta grupului nostru pe o curba normala, atunci ne uitam pe tabela notelor z si gasim, in dreptul scorului z=0.98, valoarea tabelara 0.3365. Aceasta poate fi interpretat in mai multe feluri. De exemplu, putem spune ca procentul performantelor posibile peste nivelul grupului nostru este 50%-33%, adica 17%. Sau, in termeni probabilistici, putem sune si ca: "probabilitatea de a avea o grupa (un esantion, de aceeasi marime) care sa obtina un scor mai bun la un examen de statistica (cu aceleasi intrebari) este de 0.17".
Una dintre consecintele practice ale teoremei limitei centrale este posibilitatea de a face o estimare a nivelului de incredere pentru media populatiei, pe baza mediei unui esantion extras din acea populatie. Cu alte cuvinte putem afla, cu o anumita probabilitate, care este intervalul in care se afla media populatiei, cunoscand doar media unui esantion extras din aceasta.
Acest lucru se bazeaza pe proprietatea curbei normale de a avea un numar bine definit de valori pe un interval simetric in jurul mediei. Astfel, daca luam pe curba normala un interval cuprins intre z= 1.96 in jurul mediei, stim ca acoperim aproximativ 95% din valorile posibile ale distributiei. In acest caz, z= 1.96 se numeste z critic deoarece reprezinta un prag limita, de o parte si de alta a mediei (care, pentru curba normala standardizata, este 0). Alegerea acestor limite pentru z critic se bazeaza, in esenta, pe un criteriu subiectiv. Se pot alege, la fel de bine, valori simetrice ale lui z care sa cuprinda intre ele 99% sau 99.9% dintre valorile de pe curba normala. Prin consens, insa, se considera ca asumarea unui nivel de incredere de 95% (corespunzator pentru valori "critice" ale lui z= 1.96) este considerat suficient pentru pastrarea unui echilibru intre precizia estimarii si probabilitatea estimarii. Ca urmare, in aceasta conditie, putem spune ca exista 95% sanse ca, avand media unui esantion aleator, media populatiei sa se afle undeva in intervalul:
Sigur ca, cu cat limitele intervalului de estimare sunt mai apropiate de media esantionului, cu atat aceasta din urma estimeaza mai precis media populatiei si prezinta mai multa incredere.
