Punctul si dreapta incluse in plan

Fiind dat un plan oarecare se cere sa se verifice daca un punct, definit prin coordonate, apartine acelui plan. O astfel de problema poate apare ori de cate ori se cere construirea de poligoane, drepte (paralele sau perpendiculare fata de o alta dreapta) intr-un plan deja definit. In toate aceste situatii este nevoie sa se aleaga puncte care indeplinesc conditia de a apartine planului. Conditia ca un punct sa apartina unui plan se formuleaza astfel:

Observatii

1. In cazul unui plan dublu particular conditia de mai sus se poate reformula dupa cum urmeaza:

Fig. 1 Fig. 2

In figurile 1 si 2 punctul M(10, 30, 30) apartine planului de front [F] caracterizat prin departarea y = 30 deoarece y _M = y _[F]. Punctul N(35, 10, 13) nu apartine planului [F] deoarece y _N y _[F]. Astfel segmentul intersecteaza planul de front in punctul M.

2. In cazul unui plan simplu particular conditia de mai sus se poate reformula dupa cum urmeaza:

Fig. 3 Fig. 4

In figurile 3 si 4 punctul B(10, 18, 30) apartine planului de capat [P] deoarece proiectia verticala b' apartine urmei inclinate (urma verticala) a planului. Spunem ca: daca [P] [V] si (P_V) T [P]. In aceleasi figuri punctul A(28, 18, 30) nu apartine planului [P]. Segmentul este un segment de dreapta fronto-orizontala care intersecteaza planul [P] in .

b) Dreapta inclusa in plan

Problema apartenentei unei drepte la un plan dat intervine atunci cand se doreste construirea unui poligon sau a unui contur (inchis sau deschis) compus din segmente de dreapta si / sau arce de cerc, respectand conditia ca acesta sa fie plan.

Pentru a exprima conditia de apartenenta a unei drepte la un plan se foloseste reciproca definitiei planului. Deci, o dreapta apartine unui plan daca doua dintre punctele sale sunt cuprinse in plan

Grafic, in epura, aceasta conditie se aplica folosind punctele semnificative ale unei drepte, adica urmele sale (orizontala, verticala, laterala) si formularea conditiei anterioare devine cea de mai jos:

Observatie importanta: in cazul planelor simplu si dublu particulare este mai simplu sa se verifice apartenenta la plan a oricare doua puncte ale dreptei.

Exemplul nr. 1: Fie planul vertical [Q] ([Q] [H]) definit prin punctele Qx(40, 0, 0) si Qy(0, 40, 0). Se cere sa se verifice daca segmentul apartine planului [Q]. In figurile 5 si 6 sunt prezentate schita spatiala si respectiv epura care contine rezolvarea.

Fig. 5 Fig. 6

Varianta 1) Deoarece si definesc o dreapta oarecare, aceasta are trei urme: - urma orizontala, - urma verticala si - urma laterala, dintre care cu usurinta se determina H(h, h', h'') si W(w, w', w''). Din schita spatiala se observa ca urma orizontala apartine urmei orizontale (Q _h) a planului si urma laterala W apartine urmei laterale (Q _W) a planului. In epura (Q _h) si (Q _W) deci dreapta (CD) apartine planului [Q].

Varianta 2) In mod direct se constata ca si (proiectiile orizontale ale extremitatilor segmentului) apartin urmei orizontale (Q_h) a planului, deci cele doua puncte sunt in plan si in consecinta dreapta (CD) apartine planului.

Exemplul nr. 2: Fie planul de nivel [N] de cota z_N = 30 mm si dreapta definita de punctele E(28,5; 8,5; 30) si F(11,5; 22,5; 30). Sa se verifice daca dreapta astfel definita apartine planului [N] (figurile 7 si 8).

Varianta 1) In acest caz este evident ca punctele si apartin planului de nivel [N] deoarece z_E = z_F =z _[N] = 30 mm si deci dreapta determinata de ele este o dreapta de nivel.

Varianta 2) Se poate verifica apartenenta dreptei (EF) la plan determinand cele doua urme ale dreptei: V(v, v', v'') si W(w, w', w'') (o dreapta de nivel nu are urma orizontala). Se constata ca (proiectia verticala a urmei verticale ) apartine urmei verticale (N _V ) a planului: (N_V) si (proiectia laterala a ) apartine urmei laterale (N _W) a planului: (N _W).

Fig. 7 Fig. 8