Locuri geometrice remarcabile

Locuri geometrice remarcabile

CERCUL

In geometria euclidiana, cercul este multimea tuturor punctelor egal departate de un punct fix numit centru. Circumferinta unui cerc este de fapt lungimea cercului. Arcul de cerc este orice portiune continua a unui cerc.

Aria cercului

unde A este aria cercului, r este raza cercului, d este diametrul cercului, iar π este o constanta matematica.

Circumferinta cercului

Aria unui sector dintr-un cerc

unde Asect este aria sectorului de cerc,r este raza cercului, n este unghiul sectorului de cerc masurat in grade, iar π este o constanta matematica.

Lungimea arcului de cerc

unde Larc este lungimea arcului de cerc,r este raza cercului, n este unghiul sectorului de cerc masurat in grade, iar π este o constanta matematica.

ELIPSA

Elipsa (din gr. elleipsis - lipsa) este curba plana definita ca locul geometric al punctelor pentru care suma distantelor la doua puncte fixe (numite focarele elipsei) este constanta. Aria elipsei de semiaxe a si b este A = πab.

Elipsa este o conica, adica este una dintre curbele care se pot obtine prin intersectia dintre un con si un plan.

Din punct de vedere algebric, elipsa este o curba definita in coordonate carteziene de urmatoarea ecuatie:

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

cu conditiile B² < 4AC, toti coeficientii sunt reali si exista mai mult de o singura pereche (x, y) care sa satisfaca ecuatia.

Segmentul de dreapta care trece prin focare si are capetele pe elipsa se numeste axa majora. Segmentul perpendicular pe mijlocul axei majore si avand capetele pe elipsa se numeste axa minora.

Parametrul care apare si in figura alaturata se numeste excentricitatea elipsei.

Lungimea elipsei este data de o integrala eliptica. Elipsa cu excentricitatea e si cu semiaxa mare a va avea lungimea

Se poate observa ca cercul este un caz particular de elipsa (elipsa in care cele doua focare coincid - sau pentru ecuatia algebrica, elipsa pentru care A = C si B = 0).

Parametrizari

O elipsa centrata in originea sistemului de coordonate si avand una dintre axe orizontala poate fi parametrizata astfel:

unde β apartine intervalului

Proprietati si aplicatii

• Traiectoria planetelor este (conform primei legi a lui Kepler) o elipsa.
• Proiectia unui cerc de raza a pe un plan inclinat este o elipsa cu semiaxa mare egala cu raza cercului si cu semiaxa mica egala cu b = acosα, unde α este unghiul dintre cerc si plan.
• Un cerc de raza a ce se deplaseaza in planul sau rectiliniu si uniform cu viteza v, se transforma intr-o elipsa de semiaxa mare a si semiaxa mica , unde α poate fi interpretat ca fiind unghiul cu care se roteste reperul minkowskian al cercului datorita deplasarii cu viteze relativiste.
• Daca se construieste o oglinda sub forma de elipsa (in cazul a doua dimensiuni) sau elipsoid de rotatie (pentru trei dimensiuni), se va observa ca o raza de lumina trimisa dintr-un focar se reflecta in celalalt focar.

HIPERBOLA

Hiperbola, (din greaca ὑπερβολή, 'aruncat peste') este o curba plana, facand parte din familia conicelor (numita adeseori conica deschisa), ce poate fi definita echivalent in oricare din urmatoarele moduri:

• locul geometric al punctelor dintr-un plan pentru care diferenta distantelor fata de doua puncte fixe, numite focare, este constanta;
• multimea punctelor din plan ale caror coordonate carteziene (x,y) satisfac o ecuatie de gradul 2 de forma in care sau
• intersectia unui con (considerat inclusiv prelungirea lui de cealalta parte a varfului) cu un plan ce taie ambele parti ale conului (de-o parte si de alta a varfului).

Orice hiperbola este formata din doua parti neconectate, numite ramurile hiperbolei. Fiecare ramura este o curba deschisa infinita.