Extreme locale ale functiilor de mai multe variabile reale

Extreme locale ale functiilor de mai multe variabile reale

Definitia1

Fie A o submultime din Rⁿ si f:AR.

I. Spunem ca punctul a este un punct de minim absolut pentru funtia f daca

f(a)≤f(x),

II. Spunem ca punctual a este un punct de maxim absolute pentru functia f daca

f(a)≥f(x),

numarul f(a)=inf se numeste valoare minima a fucntiei f pe A iar

f(a)=supse numeste valoare maxima a functiei f pe A.

Observatie!

Remarcam ca nu intotdeauna exista pentru o functie data puncte de minim sau de maxim absolute.Am vazut insa ca daca f este o functie continua pe un compact cu valori reale, atunci asemenea puncte exista.

Definitia2

Fie ARⁿ si f:AR.

I.Un punct a spunem ca este punct de minim local sau minim relative pentru funatia f daca exista o vecinatate V a punctului a a.i.

(1) f(a)≤f(x), pentru .

II. Un punct a spunem ca este punct de maxim local sau maxim relative pentru f daca exista o vecinatate V a punctului a a.i.

(2)f(a)≥f(x), pentru .

Punctele de maxim sau de minim local se numesc puncte de extrem local sau de extrem relativ.

Se observa, din definitia de mai sus, ca un punct a este punct de extreme local daca exista o vecinatate V a punctului a a.i. diferenta f(x)-f(a) sa pastreze semn constant pe VA.

Definitia3

Fie D un deschis din Rⁿ si f:DR.Spunem ca un punct aeste punct stationar sau punct critic pentru functia f daca f este diferentiabila in a si df(a)=0.

Teorema1 (teorema lui Fermat)

Fie D un deschis din Rⁿ.

Daca functia f:DR este diferentiabila intr-un punct a care este in acelasi timp punct de extreme local pentru f, atunci df(a)=0, adica a este punct critic.

Dem.

Fie v un versor arbitrar din Rⁿ.Intrucat a este punct extreme local al funcitei f,exista o sfera deschisa S(a,r)D pe care diferenta f(x)-f(a) pastreaza semn constant.Fie functia definite prin

f(a+tv),

Cum a este punct extreme local, diferenta f(a+tv)-f(a) pastreaza semn constant pentru t, de unde rezulta ca t=0 este punct de extreme local pentru

Conform teoremei lui Fermat pentru functii de o variabila reala (teorema 2.2.), rezulta ca . Dar, aceasta antreneaza

In particular, considerand V unul din versorii bazei canonice (e_k) , k= obtinem ca , ceea ce contrazice ca df(a)=

Observatie!

Teorema lui Fremat afirma ca punctele de extreme local ale unei fucntii diferentiabile se gasesc printer punctele sale critice.Deci, conditia ca diferentiala sa se anuleze intr-un punct este necesara nu insa si suficienta pentru ca punctual sa fie de extreme local.In acest sens sa analizam

Ex1.

Fie functia f:R²R definite prin f(x,y)=x²-y².Atunci ; deci df(0,0)=0. Dar punctul (0,0) nu eset nici punct de maxim si nici de minim local intrucat ne exista nici o sfera deschisa cu centrul in (0,0) pe care diferenta f(x,y)-f(0,0)=x²-y² sa pastreze semn constant.

Mia mult, seobserva ca functia g(x)=f(x,0)=x² are minim in 0 iar functia h(y)=f(0,y)=-y² are maxim in 0.(vezi figura de mai jos)

Definitia4

Un punct stationar care nu este punct de extreme se numeste punct sa.

Desen

Teorema2

Fie D un deschis din Rⁿ si f:DR o functie de clasa C² pe D. Daca a este un punct de minim local pentru f, atunci

(3)d²f(a)≥0.

Dem.

Cum f C²(D), putem sa aplicam formula lui Taylor cu q=2. Prin urmare, pentru orice xS(a,r) exista un punct [a,x] a.i.

f(x)=f(a)+

Conform teoremei lui Fermat, df(a)=0 si atunci, din relatia precedenta , obtinem

f(x)-f(a)=

de unde adunand si scazand d²f(a)(x-a) gasim

f(x)-f(a)=, pentru

Cum f este punct de minim rezulta ca

f(x)-f(a)≥0,

Daca x-a=h, atunci din ultimele doua relatii avem

(4) f(a+h)-f(a)= ≥0, pentru ||h||<r.

Fie acum xRⁿ cu x≠0 si fie t a.i.

||tx||<r, adica |t|<

Atunci,aplicand (4) pentru h=tx si tinand seama ca depinde de t, obtinem:

≥0, pentru orice t cu |t|<, de unde

≥0, |t|<

sau

≥0, |t|<

Facand t0 in ultima relatie si tinand seama ca iar d²f este continua in a, rezulta ca

d²f(a)(x)≥0, Rⁿ, cu care teorema este complet demonstrate.

Observatii!

Un rezultata analog are loc daca a este un punct de maxim local.Mai précis, daca fC²(D), unde D este un deschis din Rⁿ, si aeste un punct de maxim local pentru f, atunci d²f(a)≤0.

Ca si pentru functiile de o variabila reala se pune problema gasirii unor conditii suficiente pentru ca un punct stationar sa fie punct de extreme.In acest scop vom stabili, mai intai,o lema:

Lama1

Fie []_1≤i,j≤n o matrice simetrica de numere reale ( , pentru ) si fie forma patratica asociata.Daca este pozitiv definite, adica >0 pentru orice xRⁿ|, atunci exista o constanta m>0 a.i.

(5) ≥m||x||², Rⁿ .

Dem.

Fie C=.Se ve de ca multimea C este marginita si inchisa, deci compacta.Cum este o functie continua pe compavtul C, exista un punct x₀ in care functia isi atinge minimul absolute.Deci, daca m=inf, atunci .Intucat x₀rezulta ca x₀≠0, si , fiind pozitiv definita, obtinem ca m=, iar pentru orice y are loc

Observam ca (5) este verifivata pentru x=0.

Sa presupunem ca x Rⁿ|.Fie y=

Evident y si deci de unde ||x||², adica (5) este verificata si de punctele xRⁿ cu x≠0. In concluzie, (5) are loc pentru orice x Rⁿ.

Teorema3

Fie f o functie de clasa C² pe deschisul D din Rⁿ si a un punct critic pentru f.Daca forma patratica d²f(a) este:

1. pozitiv definite, atunci a este punct de minim local;

2. negative definite (adica - d²f(a) este pozitiv definita), atunci a este punct de maxim local.

Dem.

1.     Sa presupunem , mai intai, ca forma patratica d²f(a) este pozitiv definite.Am vazut in cap11.5 ca in acest caz matricea asociata

este simetrica.

Aplicand teorema2 formai patratice d²f(a) rezulta ca exista m>0 a.i.

(6) d2f(a)(x-a)≥m||x-a||², pentru

Pe de alta parte, cum fC²(D) putem sa aplicam formula lui Taylor cu q=2.Prin urmare, pentru orice xS(a,r)D exista un punct [a,x] a.i.

f(x)=f(a)+

Deoarece a este un punct stationar, avem df(a)(x-a)=0 si atunci din relatia precedenta obtinem

(7) f(x)-f(a)=

=

de unde , adunand si scazand d²f(a)(x-a), gasim

(7') f(x)-f(a)=

Dar f este de clasa C² pe D si atunci, derivatele partiale de ordin doi fiind continue, paranteza se poate scrie sub forma ||x-a||², unde .Utilizand relatiile (6) si (7'), avem mai departe

f(x)-f(a)≥||x-a||²+||x-a||²=

Cum m>0 si , putem gasi un r₁>0 a.i.

m+, pentru

Deci f(x)-f(a)≥0 pentru , ceea ce spune ca a este punct de minim local.

2. Daca d²f(a) este negative definite, se aplica rezultatul de la punctual 1 functiei -f, de unde se obtine imediat afirmatia teoremei, punctul 2.

Teorema4

Fie D un deschis in R², fC²(D) si a un punct critic pentru f.

Sa notam prin A= B= C= Daca :

1. B²-AC<0 si A>0 , atunci a este punct de minim local;

2. B²-AC<0 si A<0, atunci a este punct de maxim local;

3. B²-AC>0, atunci a nu este punct de extreme.

Dem.

Fie a=(a₁,a₂) si (x,y) un punct generic din D. Observam ca

d²f(a)(x-a₁,y-a₂)=(x-a₁) +(y-a₂)²

Presupunand, fara a micsora generalitatea, ca y≠a₂ , avem

d²f(a)(x-a₁,y-a₂)=

Daca notam cu u=, atunci se observa ca d²f(a) are semn constant daca si numai daca trinomul Au²+2Bu+C are radacini cpmplexe, adica daca B²-AC<0.

In acest caz, semnul sau este dat de semnul lui A.

Prin urmare, d²f(a) va fi pozitiv definite daca A>0 si negative definite daca A<0.Conform teoremei precedente, pentru A>0 punctul a este punct de minim local (punctual 1 al teoremei noastre) , iar pentru A<0, punctual a este punct de maxim local (puctul 2 al teoremei).

3. Daca B²-AC>0, atunci d²f(a) nu mai pastreaza semn constant si atunci, nici diferenta f(x,y)-f(a₁,a₂) nu mai pastreaza semn constant pe nici o vecinatate a punctului a, ceea ce spunce ca a nu este punct de extreme.

Observatie!

Daca B²-AC=0, nun e putem pronunta daca punctul a este sau nu punct de extreme.In acest caz, semnul diferentei f(x,y)-f(a₁,a₂) depinde de semnul diferentialelor lui f de ordin superior.

Ex2.

Sa se determine punctele de extreme local ale functiei f:R²R, definita prin

f(x,y)=x⁴+y⁴+2x²y²-8x+8y.

Observam ca 4x³+4xy²-8,4y³+4x²y+8.

Rezolvand sistemul format din ecuatiile , se obtine solutia x=-1, y=1.

Prin urmare, punctual a=(-1,1) este punct stationar.

Pentru a vedea daca a este punct de extreme sa calculam si derivatele partiale de ordin 2, 12x²+4y², 12y²+4x², 8xy,

de unde

A=16,B=-8, C=16.

Prin urmare, B²-AC=64-16²<0 si cum A>0 rezulta ca a este punct de minim.

In cazul functiilor de mai multe variabile reale, tinand seama de conditiile lui Sylvester din teoria formelor patratice([13]), pentru a putea vedea daca forma patratica d2f(a) este pozitiv sau negative definite se poate utilize urmatorul criteriu:

Teorema5

In ipotezele lemei 1 daca:

1. toate numerele

, ,..,,

unde sunt strict positive, atunci forma patratica d²f(a) este pozitiv definite in a este punct de minim local;

2. toate numerele

-,.,(-1)ⁿ sunt strict positive,

Atunci forma patratica d²f(a) este negative definite si a este punct de maxi local.

( ,., sunt minorii principali ai matricei hessiene [] ).

Dem.

Demonstratia teoremei este o consecinta imediata a irmatorului rezultat algebric(conditiile lui Sylvester): Fie o forma patratica a carei matrice asociata []_1≤i,j≤n este simetrica. Daca:

a)     minorii principali ai matricei, adica

, ,.., ,

Sunt pozitivi,atunci este pozitiv definite;

b)-,.,(-1)ⁿ sunt pozitivi, atunci este negative definite.

Ex3.

Fie functia f:R³R definita prin

f(x,y,z)=x²+3y²+2z²-2xy+2xz.

Avem 2x-2y+2z, 6y-2z,4z+2x.

Rezolvand sistemul 0, 0, 0 gasim a=(0,0,0) punct critic al functiei f.

Pentru a vedea daca a este punct de extreme, sa calculam derivatele partiale de ordin 2. Avem:

2,6,4,

-2, 2, 0,

De unde matricea hessiana devine

Observam ca iar , ceea ce spune ca forma patratica d²f(0,0,0) este pozitiv definite si deci a este punct de minim local al functiei f, conform teoremei 5.