Vibratiile libere si neamortizate ale sistemelor cu doua grade de libertate

Vibratiile libere si neamortizate ale sistemelor cu doua grade de libertate

Sistemele cu doua grade de libertate sunt constituite din doua mase concentrate, care sunt legate prin intermediul unui resort de rigiditate k₂, iar fiecare dintre mase este legata in mod individual la un corp considerat rigid si imobil prin cate un alt resort de rigiditate k₁ si, respective, k₃. O reprezentatre schematica a sistemului cu doua grade de libertate se poate vedea in figura 3.1. Este posibil ca intr-un system real unul dintre resorturile acestea sa nu existe. Sistemul se considera izolat.

Un exemplu de astfel de sistem este autovehiculul sprijinit elastic de sasiu, sasiul fiind la randul lui sprijinit elastic pe sol cu ajutorul sistemului format de cele patru roti.

In starea initiala, ansamblul din figura 3.1 este in echilibru, datorita compensarii actiunii fortelor de greutate de catre fortele elastice din resorturi. Scoaterea sistemului din aceasta stare de echilibru este posibila prin deplasarea unuia sau a ambelor corpuri si/sau prin imprimarea unei viteze unuia sau ambelor corpuri, la momentul initial.

Sistemul se afla in stare de oscilatie ca urmare a prezentei unei perturbatii initiale de tipul celor mentionate anterior. Corpurile au fost isolate prin ruperea legaturilor dintre ele si a celor dintre corpuri si sistemul exterior imobil. Figura 3.2 prezinta corpurile izolate asupra carora actioneaza fortele de legatura si forta proportionala cu acceleratia fiecaruia dintre cele doua corpuri. Presupunand ca in timpul miscarii oscilatorii a sistemului, deplasarea corpului 2 este mai mica decat cea a corpului 1, se pot scrie ecuatiile de echilibru dinamic, in conformitate cu principiul doi al mecanicii, relativ la copurile reprezentate in figura 3.2.

                                  (1)

Acest sistem de ecuatii diferentiale cu coeficienti constanti este de tip omogen, datorita absentei unor termeni dependenti explicit de parametrul timp. Acest lucru se poate constata din forma echivalenta a ecuatiilor:

(2)

Cele doua ecuatii diferentiale depind fiecare dintre ele de valorile instantanee ale elongatiilor si acceleratiile fiecaruia dintre corpuri. Altfel spus, prima ecuatie, care descrie comportarea corpului de masa m₁, contine produsul k₂x₂, care se refera la deplasarea in timp a masei m₂, iar a doua ecuatie care descrie comportarea corpului de masa m₂, contine produsul (k₂ + k₃)x₁, care se refera la deplasarea in timp a masei m₁. Un astfel de sistem de ecuatii nu se poate rezolva prin solutionarea individuala a fiecareia dintre ecuatii. El poarta denumirea de sistem cuplat, termenii de cuplare fiind produsele si, respectiv, .

O formulare matriciala a sistemului (..) este de forma:

,                          (3)

sau, intr-o forma mai concisa,

Unde este denumita matricea de inertie, iar este matricea de rigiditate.

Se considera ca, sub actiunea perturbatiilor suferite la momentul initial, sistemul executa oscilatii armonice, adica elongatiile instantanee ale fiecarui corp, si , se pot modela ca functii sinus de acceasi pulsatie.

                 (4)

Ca solutii ale sistemului (), functiile () vor verifica ecuatiile sistemului de ecuatii diferentiale. Inlocuind in ecuatii expresiile armonice ale deplasarilor instantanee si ale acceleratiilor, dupa impartirea fiecarei ecuatii la termenul nenul , se vor obtine:

,                            (5)

echivalente cu:

                                (6)

Din punct de vedere matematic, sistemul () este liniar, in raport cu necunoscutele ,. Termenii liberi nuli fac ca sistemul sa fie omogen. Prin urmare, daca detreminantul format cu coeficientii necunoscutelor, numit determinant principal, este diferit de zero, sistemul admite numai solutii nule, adica si . In situatia mentionata, din punct de vedere fizic se poate spune ca sistemul este in echilibru, negasindu-se in stare de oscilatie. Solutia nula nu prezinta interes tehnic.

Daca determinantul principal, a carui forma explicita este

,                          (7)

are valoarea zero, , atunci sistemul algebric liniar si omogen admite o infinitate de solutii. Conditia poate fi privita ca o ecuatie cu necunoscuta ω, de forma:

                           (8)

Aceasta ecuatie algebrica a pulsatiilor este de tip bipatrat si are discriminantul egal cu:

       (9)

Ca suma de patrate ale unor numere reale, nenule, discriminantul este intotdeauna un numar strict pozitiv, Solutiile ale ecuatiei bipatrate sunt distincte:

                           (10)

Se observa ca si sunt numere pozitive. Rezulta ca solutiile numere reale ale ecuatiei bipatrate sunt in numar de doua. Ele se numesc pulsatii proprii. Astfel pulsatiile proprii ale sistemului sunt marimile exprimate prin:

                            (11)

Raspunsul sistemului cu doua grade de libertate va depinde de pozitionarea pulsatiei fortelor excitatoare relativ la pulsatiile proprii ale structurii. In absenta amortizarii, amplitudinea oscilatiilor creste, teoretic, pana la o valoare infinita. Practic, nici un sistem tehnic nu este lipsit de amortizarea inerenta introdusa de fortele de frecare ce apar fie la deplasarea relativa a doua piese, fie in interiorul materialului elementului elastic, care se deformeaza alternativ in prezenta vibratiilor.
Vibratiile fortate neamortizate ale sistemelor cu doua grade de libertate

Sisteme tehnice cuprind cel mai adesea mecanisme antrenate de elemente de actionare, care imprima elementelor constitutive ale mecanismului miscari de rotatie sau de translatie cu o frecventa egala cu cea a elementului de actionare. Mecanismul insusi poate fi privit, insa, ca un ansamblu de mase inertiale legate prin elemente caracterizate de o elastricitate proprie (sau o rigiditate) proprie. Daca evaluarea acestor rigiditati evidentiaza una de valoare mai redusa, cu un ordin de marime sau mai mult, elementul respectiv poate fi privit ca o legatura elastica intre doua mase inertiale. Dintre acestea, cel putin una este legata elastic la un sasiu fix. In cazul cel mai general, ambele structuri de tip masa concentrata se vor considera legate la sasiu, conform figurii 3.3. Conform acestei reprezentari, fiecare corp este actionat cu o forta excitatoare. Pentru simplificare, se va studia mai intai cazul in care cele doua forte de tip armonic au aceeasi pulsatie ω,

Aplicand metoda izolarii corpurilor, pentru fiecare dintre ele se marcheaza fortele elastice din legaturi, forta excitatoare, rezultanta acestora fiind egala cu produsul dintre masa corpului si acceleratia imprimata lui, ca in figura 3.4.

Ecuatiile de echilibru dinamic pentru sistemul corpurilor va fi:

Sistemul de doua ecuatii diferentiale are drept necunoscute deplasarile instantanee si ale corpurilor. Fortele excitatoare vor fi termeni liberi intr-un astfel de model matematic:

Excitatiile au pulsatia comuna ω, astfel ca este de asteptat ca structura elastica sa oscileze armonic cu aceasta pulsatie. De aceea deplasarile instantanee se vor cauta de forma:

,

ceea ce transforma problema initiala intr-una de determinare a amplitudinilor independente de timp ale deplasarilor armonice.

Ca solutii ale sistemului (), functiile () vor verifica ecuatiile sistemului de ecuatii diferentiale. Inlocuind in ecuatii expresiile armonice ale deplasarilor instantanee si ale acceleratiilor, dupa impartirea fiecarei ecuatii la termenul nenul , se vor obtine:

,

echivalente cu:

Sub aceasta forma, sistemul s-a transformat intr-un sistem liniar, avand drept necunoscute amplitudinile constante in timp, X₁ si X₂. Determinantul principal, ai carui termeni sunt coeficientii necunoscutelor, este:

In cazul in care determinantul principal este nul, adica , sistemul oscileaza cu amplitudine, teoretic, infinita. Acest lucru indica faptul ca se manifesta fenomenul de rezonanta pentru acele valori ale pulsatiilor ω, pentru care este indeplinita conditia . Aceasta conditie este, din punct de vedere matematic, o ecuatie cu necunoscuta ω:

Ecuatia algebrica a pulsatiilor este de tip bipatrat si are discriminantul egal cu:

Ca suma de patrate ale unor numere reale, nenule, discriminantul este intotdeauna un numar strict pozitiv, Solutiile ale ecuatiei bipatrate sunt distincte:

Se observa ca si sunt numere pozitive. Rezulta ca solutiile numere reale ale ecuatiei bipatrate sunt in numar de doua. Ele se numesc pulsatii proprii. Astfel pulsatiile proprii ale sistemului sunt marimile exprimate prin:

Atunci cand fortele excitatoare,

au pulsatii ω apropiate valoric de pulsatiile proprii determinate cu relatiile () si (), sistemul, chiar daca nu lucreaza in regim pur de rezonanta, are amplitudini mari de oscilatie, care genereaza tensiuni mecanice excesive in materialul elementelor elastice de legatura. Aceste tensiuni sunt variabile, de tip alternant simetric, daca excitatia este armonica. Materialul elementului solicitat in regim variabil va prezenta relativ rapid fenomenul de oboseala, caracterizat prin diminuarea severa a rezistentei mecanice. Drept urmare, are loc o deteriorare accelerata a pieselor supuse regimului mentionat. O functionare in conditiile descrise mai sus este de evitat, de aceea orice sistem mecanic se evaluaeza sub aspectul determinarii pulsatiilor proprii inca din faza de proiectare.

In situatia favorabila in care sistemul este solicitat de forte excitatoare avand pulsatia diferita valoric de una dintre pulsatiile proprii, se pot determina expresiile amplitudinilor de oscilatie ale corpurilor de mase m₁ si m₂. ca solutii ale sistemului algebric liniar, de tip Cramer (Δ). Se calculeaza determinantii:

Cu acestea, amplitudinile oscilatiilor armonice ale maselor m₁ si m₂ sunt:

Amplitudinile oscilatiilor nu depind de timp, dar sunt functii de pulsatia fortei excitatoare ω. Reprezentarea grafica a variatiei amplitudinilor in raport de ω se poate vedea in figurile 3.5 si 3.6. Ca urmare a faptului ca numitorul are intotdeauna exact doua radacini reale si distincte, indiferent de valorile pozitive ale celorlalti parametri, graficele functiilor si au intotdeauna doua asimptote verticale, care corespund valorilor absciselor egale cu pulsatiile proprii si ale sistemului oscilant.

Absorbitorul dinamic neamortizat

Absorbitorul dinamic este o masa inertiala auxiliara, atasata unei mase inertiale utile cu scopul de a-i elimina comportamentul vibratoriu la o anumita frecventa, care coincide cu frecventa de lucru a masei utile. Absorbitorul este o solutie a problemei ingineresti concrete care se poate formula astfel: "Cum se opreste din oscilatie un corp legat elastic de suportul lui rigid, la o anumita frecventa?" Figura 3.5 prezinta schema de principiu a absorbitorului dinamic constituit din masa utila m₂ si masa suplimentara m₁. Dupa cum se poate constata, acesta este un caz particular de sistem ce executa oscilatii fortate neamortizate, la care lipseste resortul ce leaga masa m₁ de suportul imobil (k₁=0),  iar excitatia exterioara se aplica numai masei utile m₂ (f₁(t) =0). Sistemul de ecuatii () conduce la sistemul algebric (), in conditiile particulare mentionate.

Determinantul principal al sistemului algebric va fi:

,

iar amplitudinea de oscilatie a masei utile, se exprima prin relatia:

.

Daca alegem masa aditionala m1 si arcul k2 astfel incat sa fie indeplinita conditia:

,

ceea ce este echivalent cu o corelare intre pulsatia excitatoare ω si structura atasata suplimentar:

,

Din relatia (), se observa faptul ca numaratorul fractiei prin care se exprima amplitudinea de oscilatie a masei utile devine nul. Prin urmare, nula este amplitudinea de oscilatie a corpului m₂, adica. Masa m₂ inceteaza sa mai oscileze la acea pulsatie a fortei excitatoare care indeplineste conditia (). Daca, in plus, impunem ca pulsatia excitatoare ω sa coincida cu pulsatia proprie a sistemului format din masa utila m₂ si arcul de rigiditate k₃, adica:

,

atunci corpul 2 inceteaza sa oscileze la pulsatia la care, in absenta absorbitorului m₁, s-ar gasi in regim de rezonanta.

Sistemul format din masa suplimentara m1 si masa principala m1 are doua grade de libertate, fiind caracterizat de doua pulsatii proprii, determinate cu relatiile () si ().

Recapituland, putem spune ca masa m₂ se comporta diferit in absenta sau in prezenta absorbitorului:

1.     Cand masa m₂ este legata prin intermediul arcului de rigiditate k₃ la suportul fix, ea are o amplitudine infinita de oscilatie atunci cand pulsatia fortei excitatoare coincide cu pulsatia proprie: .

2.     Cand masa m₂ este legata prin intermediul arcului de rigiditate k₃ la suportul fix si prin intermediul arcului de rigiditate k₂ la masa m₁, ea nu oscileaza atunci cand pulsatia fortei excitatoare coincide cu pulsatia proprie, daca este indeplinita conditia:

Este de observat faptul ca atasarea masei auxiliare m1 face ca sistemul aflat in vibratie sa aiba doua grade de libertate si, implicit, doua pulsatii proprii, diferite de cea a sistemului masa m₂ - resort k₃.

Graficul variatiei amplitudinii in functie de pulsatia fortei excitatoare de tip armonic a fost trasat in figura 3.6. Curbelea reprezentate cu linie intrerupta caracterizeaza evolutia amplitudinii unui sistem vibratoriu cu o singura pulsatie proprie (cazul 1.), iar curbele trasate cu linie continua, separate de doua asimptote verticale cauate de doua pulsatii proprii, constituie comportarea sistemului masa-absorbitor (cazul 2.).

Fig.3.6

Egalarea rapoartelor poarta numele de relatia de acordare a absorbitorului dinamic.

Daca un absorbitor este acordat corect, adica patratul pulsatiei proprii al cuplului masa utila m₂ si resort k₃, , iar raportul adimensional al maselor utila si auxiliara este notat , ecuatia pulsatiilor proprii ia o noua forma. Din relatiile mentionate anterior se pot scrie urmatoarele expresii:

Cu acestea, ecuatia devine:

Cu notatia , ecuatia se rescrie astfel:

Reformularea ecuatiei consta in desfacerea parantezelor prin efectuarea inmultirilor si ordonarea termenilor in sensul scrierii puterilor necunoscutei ω in ordine descrescatoare. Se obtine ecuatia bipatrata a pulsatiilor:

Rezultatele unei ecuatii sunt mai usor de interpretat din punct de vedere tehnic atunci cand necunoscuta este o marime adimensionala. In acest caz, raportul dintre pulsatia fortei excitatoare si pulsatia proprie a masei utile in absenta absorbitorului, , constituie necunoscuta adimensionala a ecuatiei:

Ecuatia bipatrata a pulsatiilor adimensionale are discriminantul dependent de raportul adimensional al maselor, . El este:

Cu acestea se poate da expresia solutiei ecuatiei pulsatiilor adimensionale:

Dintre cele patru solutii ale ecuatiei, semnificatie fizica au numai cele pozitive:

Cu aceste solutii adimensionale se pot da expresiile pulsatiilor proprii ale sistemului cu doua grade de libertate al absorbitorului dinamic:

Formularea adimensionala a solutiilor nu este doar un artificiu matematic, ci este un instrument de interpretare din punct de vedere tehnic, practic, al unui rezultat matematic. In continuare vom discuta solutiile date mai sus.

Daca raportul adimensional al maselor,, este apropiat de zero, adica masa suplimentara este foarte mica in comparatie cu masa a carei oscialtie trebuie controlata, se constata ca cele doua pulsatii proprii sunt foarte apropiate valoric de pulsatia proprie a masei principale legate elastic de suportul fix. Cu alte cuvinte, absorbitorul este ineficient pentru ca exista riscul major de intrare in regimul de lucru de tip rezonanta la cea mai mica abatere a unui parametru, din cauza unor tolerante tehnologice sau datorita unei minore modificari a pulsatiei fortei excitatoare.

Pentru a separa pulsatiile proprii ale sistemului cu absorbitor dinamic, este necesara cresterea valorii raportului . Figura 3.8 a fost trasata pentru a arata distantarea pulsatiilor adimensionale odata cu marirea raportului μ.

Se contureaza o intrebare fireasca: "Cat de mare trebuie sa fie masa aditionala, pentru a avea un absorbitor optim?" Criteriile de optim pot fi diverse. Dintre ele se pot evidentia doua foarte importante.

Unul dintre ele se refera la gabaritul dispozitivului care are nevoie de un absorbitor dinamic. Orice masa suplimentara asociata unui resort aduce cu sine o marire a gabaritului. Prin urmare, optim ar fi un sistem la care masa suplimentara este redusa ca volum (masa redusa), iar elementul elastic sa fie conceput astfel ca, la o rigiditate impusa de conditia de acordare, gabaritul lui sa fie minim. Daca se utilizeaza arcuri elicoidale de intindere-compresiune, o rigiditate mare asociata cu un gabarit redus se poate obtine atunci cand se folosesc arcuri legate in paralel, montate coaxial, introduse unul in celalalt.

Un al doilea criteriu de optim se refera la separarea neta dintre noile pulsatii proprii, aparute ca urmare a introducerii masei suplimentare a absorbitorului dinamic, si pulsatia la care sistemul lucreaza efectiv, care este pulsatia ω a excitatorului. Aceasta se traduce printr-o diferenta de valoare mare. Reprezentarea functiei (fig.3.8) arata ca o separare neta a pulsatiilor proprii incepe de la raportul maselor μ = ..

Fig 3.8

Este foarte important sa se tina seama de separarea neta a pulsatiilor proprii mai ales in cazul sistemelor in care pulsatia excitatoare variaza in jurul valorii date de relatia .

In proiectarea absorbitorului dinamic se poate pleca de la o valoare aleasa a raportului , care va permite calculul direct al raportului μ al maselor, astfel ca μ < 1. Cunoscand μ si , se pot determina pulsatiile proprii ale sistemului cu doua grade de libertate al absorbitorului dinamic. Masa utila fiind anterior cunoscuta, se calculeaza masa suplimenrtara m₁, iar din conditia de acordare a absorbitorului, , va rezulta rigiditatea elementului de legatura dintre masa suplimentara si masa suplimentara.

Pentru evitarea cazului accidental al apropierii frecventei excitatoare ω de una dintre pulsatiile proprii sau , se poate lega un amortizor in paralel cu arcul k₂. Prezenta amortizorului face ca sa se manifeste un raspuns oscilatoriu al masei m₂ la pulsatia excitatoare egala cu . Reaamintim ca masa m₂ inceteaza sa oscileze la aceasta frecventa, daca absorbitorul este acordat corect, iar sistemul nu prezinta amortizare.

Vibratiile fortate amortizate ale sistemelor cu doua grade de libertate

Sistemele reale care se pot modela cu suficienta precizie ca ansamblu de doua mase concentrate legate prin elemente elastice intre ele si de suportul fix, sunt sisteme cu doua grade de libertate. Pentru limitarea amplitudinii oscilatiilor maselor aflate in stare de vibratie, sistemul poate fi prevazut cu amortizoare legate in paralel cu fiecare dintre resorturi, ca in figura 3.8. Fiecare dintre corpuri este actionat in mod independent de cate o forta excitatoare. Aceste forte au amplitudini diferite, dar sunt caracterizate de o pulsatie excitatoare comuna, ω.

Fig. 3.8

Masele in miscare alternativa armonica au elongatiile instantanee si, respectiv, . Studiul miscarii are drept obiectiv determinarea expresiilor acestor elongatii, ca functie de timp, plecand de la premiza ca oscilatiile corpurilor sunt de tip armonic.

Aplicand metoda izolarii corpurilor (fig.3.9), pentru fiecare dintre ele se marcheaza fortele elastice si fortele de mortizare vascoasa din legaturi, forta excitatoare, rezultanta acestora fiind egala cu produsul dintre masa corpului si acceleratia imprimata lui.

Fig. 3.9

Ecuatiile de echilibru dinamic pentru sistemul corpurilor va fi:

Sistemul de doua ecuatii diferentiale are drept necunoscute deplasarile instantanee si ale corpurilor. Fortele excitatoare vor fi termeni liberi intr-un astfel de model matematic:

Sistemul de ecuatii diferentiale cu coeficienti constanti poate admite solutii de forma:

,

unde , cu , iar .

Elongatiile se pot exprima sub forma trigonometrica dupa cum urmeaza:

In acest fel se evidentiaza faptul ca fiecare solutie contine o componenta armonica de pulsatie b si o componenta de amortizare, al carei factor de amortizare este notat a. Pentru a putea impune ca elongatiile dub forma data sa fie solutii ale sistemului de ecuatii diferentiale, trebuie efectuate derivarile in raport cu timpul: