Etapa locala a olimpiadei de matematica - probleme pregatitoare, clasa a vi-a

Probleme pregatitoare

ETAPA LOCALA A OLIMPIADEI DE MATEMATICA

Clasa a VI-a

Enunt Problema nr.1

Se considera un unghi alungit si, in acelasi semiplan determinat de dreapta AB se considera (n-1) semidrepte distincte care impart in n unghiuri, nIN, n 2. Aceste n unghiuri formate au masurile (in grade sexagesimale) exprimate prin numere naturale diferite.

a)     Sa se gaseasca valoarea maxima a numarului natural n;

b)     Pentru valoarea lui n gasita la punctul a), dati un exemplu in care sa precizati masurile celor n unghiuri care se formeaza;

c)      Sa se determine numarul maxim de unghiuri care se pot forma (in conditiile precizate in enunt) daca unul dintre unghiuri este drept.

Barem de corectare problema nr. 1

a) Pentru ca n (numarul de unghiuri) sa fie maxim, trebuia ca masurile acestor unghiuri sa fie cat mai mici. Deoarece masurile acestor unghiuri sunt exprimate prin numere naturale diferite, cele mai mici valori pot fi: 1⁰, 2⁰, … , n⁰. Dar suma masurilor celor n unghiuri este 180⁰. Inseamna ca 1⁰+2⁰+ … +n⁰ 180⁰ T T si cum n este numar natural, n 18. Valoarea maxima a lui n este 18.

b) Un exemplu ar putea fi 1⁰, 2⁰, 3⁰, … , 16⁰, 17⁰, 27⁰.

c) Daca unul dintre unghiuri este drept, revenim in cazul a) dar cu n-1 unghiuri a caror suma a masurilor este de 90⁰.

1⁰+2⁰+ … +(n-1)⁰ 90⁰ T T T n 13. Valoarea maxima a lui n in acest caz este 13.

Enunt Problema nr.2

Demonstrati ca , pentru orice numere naturale m si n.

Barem de corectare problema nr. 2

Din cele doua relatii rezulta imediat inegalitatea din enunt.

Enunt Problema nr.3

a) Exista numere de cinci cifre, cu cifrele distincte doua cate doua, formate cu cifrele 0, 1, 4, 6, 9 care, prin impartire la 3, dau restul 1?

b) Cate numere de cinci cifre, cu cifrele distincte doua cate doua, formate cu cifrele 0, 1, 4, 6, 9, sunt patrate perfecte?

Barem de corectare problema nr. 3

Se demonstreaza mai intai ca restul impartirii la 3 (si respectiv la 9) a unui numar natural si respectiv a sumei cifrelor sale este acelasi (pentru usurinta, se poate demonstra pentru numere de 5 cifre).

Cum si , avem . Deci restul impartirii numarului la 3 si respectiv la 9 este egal cu restul impartirii numarului la 3 si respectiv la 9.

a) Numerele de cinci cifre distincte care se pot forma cu 0, 1, 4, 6, 9 au suma cifrelor 20=M₃+2. Inseamna ca restul impartirii oricarui numar cu forma indicata la 3 va fi egal cu 2. Nu exista numere de cinci cifre distincte formate cu 0, 1, 4, 6, 9 care sa aiba restul impartirii la 3 egal cu 1.

b)     Orice numar natural are una din formele: 3k, 3k+1, 3k+2. Avem:

Inseamna ca, orice patrat perfect are forma M₃ sau M₃+1. Cum numerele naturale care respecta enuntul problemei sunt de forma M₃+2, va rezulta ca nu exista patrate perfecte formate din cinci cifre distincte, cu cifrele 0, 1, 4, 6, 9.

Enunt Problema nr.4

Pretul unui obiect a fost majorat cu p% si apoi, noul pret a fost micsorat cu q% din el astfel incat obiectul costa in final cat a costat initial. Sa se arate ca IN.

Barem de corectare problema nr. 4

Fie x lei pretul initial al obiectului.

Dupa majorarea cu p%, obiectul cota acum

Dupa reducerea cu q%

din noul pret, obiectul costa

Pentru ca pretul final va fi acelasi cu cel initial, vom avea:

T (100 - q)(100 + p)=10000 T 10000+100p-100q-pq=10000 T 100(p-q)=pq T =100IN.

Problema 5

Sa se arate ca daca un numar este divizibil cu 197 , atunci dublul numarului rezultat din ultimele doua cifre ale sale , adunat cu de 3 ori numarul ramas prin eliminarea acestor doua ultime cifre , formeaza de asemenea un numar divizibil cu 197.

Barem Problema 5

• Din oficiu 1p
• Scrie ,numar dat, care prin ipoteza este divizibil cu 197 ..2p
• A se mai poate scrie si sub forma  2p
• Numarul nou format va fi :  1p
• Deduce ca B se mai poate scrie : 2p
• Intrucat si , deduce ca 2p

Problema 6

 Sa se determine numerele rationale a, b, c, numerele naturale pare k si numerele naturale n care satisfac conditiile a+b+c=12 si

Barem Problema 6

 Din oficiu..1p

• .1,5p
• Din ipoteza, .1,5p
• Deoarece , kN1,5p
• Cum kN, k+5 se afla printre elementele multimii ..1,5p
• Tinand seama de conditia k par (deci k+5 impar) se gaseste k=4, care conduce la n=2 1,5p
• Apoi din , gasim a= si analog b=4, c=..1,5p

Problema 7

Fie numerele nenule a, b, c, d.Stiind ca , sa se calculeze.

Barem Problema 7

• Din oficiu.1p
• Scrie ..1p
• Deduce ca 2p
• Inversand rapoartele avem :                                                                                           : ..2p
• Obtine ..2p
• Din2p

Problema 8

Se dau semidreptele [OA, [OB, [OC, [OD astfel incat [OB si [OC sunt interioare unghiurilor AOC si respectiv BOD si [OM, [ON, [OP sunt bisectoarele unghiurilor AOB, BOC si respectiv COD. (Punctele B, C, D sunt de aceeasi parte a dreptei OA).

a)     Aratati ca .

b)     Daca , aratati ca .

c)      Daca [ON este si bisectoarea unghiului MOP, dovediti ca .

Barem Problema 8

Din oficiu1p

a) Ajunge la .1p

Ajunge la 1p

b) Ajunge la 1,5p

c) bisectoarea ..1p

bisectoarea ..1p

.2p

Ajunge la si .1p

.0,5p

Problema nr. 9

Determinati numerele nenule a, b, c, invers proportionale cu numerele 5, 6 , 10 stiind

ca .

Barem pb 9

2p. Avem sirul de rapoarte egale: , k ≠ 0, (1p)

2p. Avand 9(a² + b² + c²) = 7abc, (1p) ; obtinem 9 ^, (1p)

2p. 9k² (1p 9k^{2; ,} k = 30 , (1p)

1p. Deci a = 6 , b = 5 , c = 3

Problema nr. 10

Aratati ca patru numere naturale consecutive nu pot fi termenii unei proportii.

Cat ar trebui adunat (sau scazut) la al patrulea numar din sirul anterior, pastrand ordinea, pentru ca

impreuna cu celelalte trei sa formeze o proportie cu termeni naturali ?

Barem pb 10

a) 1p. Notam cele patru numere naturale cu : a , a + 1 , a + 2 , a + 3 , aIN

Daca s-ar forma o proportie, primul si ultimul ar fi termeni de acelasi fel : extremi sau mezi

1p. Presupunem ca avem proportia de forma : si a( a + 3 ) = (a +1)(a + 2),

1p. a( a + 3 )= a² + 3a ; (a +1)(a + 2) = (a+1)t=at +t =a(a+2)+ (a+2)= a² + 2a + a +2 = a² + 3a + 2, deci

a² +3a = a² + 3a + 2. Ultima relatie nu poate fi adevarata . Patru numere consecutive nu pot forma o proportie.

b) 1p. Deoarece a² + 3a < a² + 3a + 2 rezulta ca trebuie sa adunam la (a+3) un numar x pentru a obtine egalitate :

1p. a(a + 3+ x) = a² + 3a + 2, a² + 3a + ax = a² + 3a + 2 , ax = 2 ,

este numarul pentru a se obtine proportie, ultimul termen fiind a + 3 +

1p. Pentru a avea termeni naturali trebuie ca a sa fie divizor al lui 2 , deci a = 1 sau a = 2‌‌‌‌

1p. adica se obtine o proportie cu termini naturali pentru a = 1 si x = 2 sau a = 2 si x = 1

Problema nr.11

Fie <AOB , <BOC, <COD, <DOA, unghiuri formate in jurul punctului O. Bisectoarea lui <BOC si [OD

sunt semidrepte opuse. Daca [OD este perpendiculara pe [OA si mas(<AOB) = 45⁰ , sa se arate ca:

a)     OC este perpendiculara pe OB ;

b)     Bisectoarele unghiurilor <AOB si <DOC sunt semidrepte opuse.

Barem pb. nr 11

a) 1p. Figura

1p. Construim [OE – bisectoarea lui <BOC.

1p. Atunci mas(<EOB) = 180⁰ - [mas (<AOB) + mas (<AOD)] =180⁰ - ( 90⁰ + 45 ⁰) = 45⁰ ,

1p. deci mas(<EOC) = 45⁰ . Rezulta ca mas(<COB) = 90⁰ si OC OD.

b) 1p. Avem mas(< COD) = 180 – mas(< EOC) = 180⁰ – 45⁰ = 135⁰

1p. Fie [OF bisectoarea <AOB si [OG bisectoarea <COD.

1p. Atunci mas(<FOG) = mas (< GOC) + mas (<COB) + mas (<BOF) =

= 67⁰ 30 + 90⁰ + 22⁰ 30^’ = 180⁰ deci unghiul GOF este un unghi cu laturile

in prelungire asa ca [OG si [OF sunt semidrepte opuse.

Problema nr 12

Unghiurile <AOB si <BOC sunt adiacente iar [OX si [OY sunt bisectoarele lor.

a) Daca OX OC si OY OA, calculati masurile unghurilor considerate;

b) Daca semidreptele [OX si [OC , respective semidreptele [OY si [OA sunt in prelungire,

calculati masurile unghiurilor considerate.

Barem pb. 12

a) 1p. Figura

1p. 1) Fie mas(<AOX) = m , mas(<BOY) = n 1) notatii

2) mas(<AOB) = 2m                                                                2) [OX bis. <AOB , ip

3) mas(<BOC) = 2n 3) [OY bis. <BOC , ip

1p. 4) mas(<AOB) + mas(<BOY) = mas (<AOY) 4) constr.,ip.

5) 2m + n = 90⁰ 5) 1,2

1p. 6) mas(<BOC) + mas(<BOX) = mas (<COX) 6) constr.,ip.

7) 2n + m = 90⁰ 7) 1,3

1p. 8) m = n , m = 30⁰ , mas(<AOB) = 60⁰ , mas(<BOC) = 60⁰ 8)5, 7, 4, 2

b) 1p. 9) mas(<AOY) = mas(<COX)= 180⁰ 9) ip.

1p. 10) m = n = 60⁰ , mas(<AOB) = mas(<BOC) = 120⁰ 10) 5,7,9,

Problema nr.13

Adaugati trei cifre la dreapta numarului 523 astfel incat numarul obtinut sa se divida cu 7,cu 8 si cu 9.

Barem Problema nr.13

Fie N=. Cum 7|N ; 8|N ; 9|N , rezulta ca 504|N (1)

	1 punct

Insa N= = 523000+ = 1034504 + 352 + (2)

1 punct

Din (1) si (2) 352+=504k (3)

	1 punct

Pentru k=1 =504-352 =152

	1 punct

Pentru k=2 =1008-352 =656

1 punct

Pentru egalitatea (3) nu mai poate avea loc deoarece ar rezulta ca are mai mult de trei cifre.

1 punct

Solutie

Problema nr. 14

II) Fie A= si B=

unde sunt cifre ale sistemului zecimal iar n este un numar natural nenul.

Sa se demonstreze ca daca 17|B atunci 17|A

Barem Problema nr. 14

Notam X=; Atunci A=X10 + a_n +8a_n A= X10 + 9a_n .

1 punct

1 punct

B=X+6a_n .

17|B 17| (X+6a_n) X+6a_n=17K ; X=17K - 6a_n . (1)

Din A= X10 + 9a_n si X=17K - 6a_n A= 10(17K – 6a_n ) + 9a_n A=170K - 51a_n A=17(10K - 3a_n ) 17|A

	1 punct

Problema nr.15

Demonstrati inegalitatea :

Barem Problema nr.15

Problema nr.16

Se considera unghiul ascutit XOY . In semiplanul determinat de (OX si in care nu se afla Y se duc perpendicularele (OA si OB pe (OX, respectiv pe (OY . Se noteaza cu (OC bisectoarea unghiului BOX.

a) Daca m(XOC) este cu 20^o mai mare decat m(XOY), sa se afle m(XOY).

b) Daca (OX este bisectoarea YOC , atunci m(COY)= m(XOB)

Barem Problema nr.16

A B

C

O X

Y

	1 punct
				1 punct

a) Fie m(=a^o si m(=2b^o .

b=a+20^o (1)

(OC este bisectoare m(= m(= b^o

Din ipoteza (OB (OY m(=90^o

2b+a=90^o (2)

m(=2b+a

Din (1) si (2) 2a+40^o + a = 90^o 3a=50^o a= 16^o 40’

b) (OX – bisectoarea m(= m(a=b (3)

(OC – bisectoarea m()=2b

m() + m()=90^o 2b+a=90^o (4)

Din (3) si (4) a=30⁰

m()=2b ; b=a=30^o m()=60^o

m()=60^o

^{MODEL DE SUBIECT NR. 1}

1. Determinati numerele naturale a, b, c astfel incat sa aiba loc relatia:

.

2. Trei vanzatori au caiete cu acelasi pret. Primul a marit pretul cu 20% si apoi l-a

micsorat cu acelasi procent, al doilea a micsorat mai intai pretul cu 20% si abia

apoi l-a marit cu acelasi procent iar al treilea a lasat pretul neschimbat.

De la care vanzator ai cumpara acum si de ce?

3. Fie triunghiul isoscel ABC cu (AB) s (AC) si punctele D, E IBC, astfel incat BI(DC), CI(BE) si (BD) s(CE). Perpendiculara in D pe AD intersecteaza perpendiculara in E pe AE in punctul F. Sa se arate ca (AF este bisectoarea unghiului

4. Demonstrati ca un numar cu n cifre identice, n>1, nu poate fi patrat perfect.

^{BAREM MODEL DE SUBIECT NR. 1}

SET DE PROBLEME PROPUSE

PROBLEME CU RASPUNS DIRECT

1. Daca , cat la suta reprezinta z din x? Raspuns ….

2. Cate fractii de forma se simplifica prin 36? Raspuns ….

3. Cifra a din relatia: 0,(a) + 0,0(a) + 0,00(a) = 0,37 este …….

4. Valoarea expresiei E = este …..

5. Un numar natural impartit la 7 si respectiv 8 da resturile 6 si respectiv 5. Restul impartirii acestui numar la 56 este ……

6. Raportul dintre masura suplementului si masura complementului unui unghi este . Masura unghiului este …..

7. Fie unghiurile adiacente AOB si BOC. Daca m= 70⁰ si masura unghiului format de bisectoarele celor doua unghiuri este de 51⁰ atunci m(AOB) este …….

8. Se considera 5 puncte distincte astfel incat oricare trei dintre ele sunt necoliniare. Numarul de triunghiuri determinate de cate trei din aceste puncte este ………

9. Se da numarul 1 2 3 2003 – 2. Restul impartirii acestui numar la 50102 este…..

PROBLEME CU RASPUNS ELABORAT (rezolvare completa)

10. Determinati numerele naturale m si n astfel incat

5 7^m = 7ⁿ – 2

11. Fie numerele naturale x si y astfel incat

x – 16 = 15 (16 + 16² + 16³ + …. + 16^n-1), n 2, n I N,

y – 13 = 2^p (5 + 5² + 5³ + …. + 5^p), p 1, p I N.

Stabiliti care din aceste numere este patrat perfect.

12. Unghiurile AOB, BOC, COD, DOE sunt adiacente si cu interioarele disjuncte astfel incat punctele A, O si E sunt coliniare. Masurile unghiurilor AOB, BOC, COD, DOE formeaza respectiv cu patru numere naturale nenule consecutive, rapoarte egale. Sa se demonstreze ca doua dintre unghiuri sunt complementare.

13. Doi elevi, lucrand separat, au rezolvat impreuna 520 de probleme, desi isi propusesera sa rezolve 425. Stiind ca primul a rezolvat cu 25%, iar al doilea cu 20% mai mult decat si-au propus, aflati cate probleme a rezolvat fiecare.

14. Determinati cele mai mici numere naturale consecutive a, b, c, d (0<a<b<c<d) stiind ca sunt divizibile respectiv cu numerele 8, 7, 6, 5.

15. Determinati numerele naturale a, b, c stiind ca sunt direct proportionale respectiv cu numerele 2, a, b si a+4b+4c=2028.

16. In triunghiul isoscel ABC se duc inaltimea AD si bisectoarea AA’ (D,A’ € BC). Aflati masurile unghiurilor triunghiului ABC stiind ca DB=DA’.

17. Fie x si y numere naturale. Aratati ca:

a) Daca 3x+5y13 atunci 33x+55y13 .

b) Daca 3x+5y13 atunci 16x+18y13 .

c) 3x+5y13 daca si numai daca 7x+3y13 .

18. a) Fie a , bN numere prime consecutive diferite de 2 . Daca a+b=2n , aratati ca n este numar compus .

b) Calculati suma cifrelor numarului A=8∙-5264 .

19. Numerele naturale de la 1 la 2004 sunt aranjate ca mai jos . In ce rand este numarul 2004 . ( Justificati raspunsul )             

Randul 1: 3 11 19

Randul 2 : 2 6 10 14 18 22

Randul 3 :1 5 9 13 17 21 25 …

Randul 4 : 4 8 12 16 20 24

Randul 5 : 7 15 23

Prof. Constantin Berbecel

20. Se considera punctele coliniare A , O , B in aceasta ordine. De aceeasi parte a dreptei AB consideram punctele C si D astfel incat OC OD si semidreapta [OC este inclusa in interiorul unghiului AOD. Fie [OE , [OF , [OG , [OH respectiv bisectoarele unghiurilor AOC , COD , BOD si COB .

a) Aratati ca OEOH .

b) Stiind ca masurile unghiurilor EOF si FOG sunt direct proportionale cu numerele 4 si 5 , sa se afle masurile unghiurilor AOC si BOD .

21. a)Stabiliti daca numerele a=1^.2^.3^.….n+1; b=1^.2^.3^.….(n+1)+1, unde nIN*, sunt prime intre ele.

b)Sa se determine nIN astfel ca fractia sa fie reductibila. Pentru cate valori ale lui n, fractia este reductibila?

22. Determinati numarul de elemente din multimea:

S= iar x, y, z, t sunt cifre in baza 10.

23. Fie m produsul primelor 2003 numere naturale impare si n produsul primelor 2003 numere naturale prime. Aflati ultimele doua cifre ale numarului 7.

24. Fie AOB, BOC, COD, DOE si EOA unghiuri in jurul unui punct si [OX si [OY bisectoarele unghiurilor AOB si BOC. Stiind ca masura unghiului XOY este de 80⁰, m(COD)=m(DOE) si m(DOE)=m(AOE), aflati masurile unghiurilor AOC, COD, DOE si EOA. Daca raportul masurilor unghiurilor AOB si BOC este , aflati masurile lor.

25. Se considera unghiul obtuz AOB si dreptele a ,b concurente in O , astfel incat a OA si             

b OB . Fie C si D doua puncte arbitrare CIa , DIb

a) Aratati ca daca C si D sunt ambele in interiorul unghiului AOB sau in exteriorul aceluiasi

unghi , atunci unghiurile AOB si COD sunt suplementare .

b) Fie C si D in interiorul unghiului AOB CIa , DIb . Se stie ca masurile unghiurilor AOB

si COD indeplinesc conditia .

Sa se demonstreze ca daca [ OM si [ON sunt bisectoarele unghiurilor AOD si BOC ,

atunci [ OD si [OC sunt bisectoarele unghiurilor MOC si DON .

26. Fie triunghiul isoscel ABC ( AB=AC ) si punctele

a)     Aratati ca .

b)     Daca aratati ca .

27. Mai multe patrate identice pot fi asezate pe 25 de randuri , fiecare rand avand cu doua patrate mai mult decat cel anterior ( ca in desenul de mai jos).

a)     Cate patrate sunt pe ultimul rand ?

b)     Cate patrate , identice cu cel de pe primul rand , sunt in total ?

c)      Cate dreptunghiuri diferite (doua dreptunghiuri sunt diferite daca au dimensiuni diferite ) se pot construi utilizand toate patratele ( justificati raspunsul) ?

28. Se considera fractiile de forma : .

a)     Aratati ca daca fractiile nu sunt ireductibile , atunci ele se simplifica cu 19 .

b)     Sa se determine cele mai mici trei numere naturale n pentru care se obtin fractii reductibile .

29.Fie

Aratati ca :

a) si are 7 divizori;

b) si este prim;

c)

30.Sa se determine bumerele prime x,y,z astfel incat 2x+5y=99 si 3y+4z=101

31.Se dau numerele : Comparati cu

32.Fie unghiurile si adiacente , cu masurile de a si respectiv b, . Numerele a si b verifica relatiile :

In interiorul unghiului se construiesc semidreptele si astfel incat . Semidreptele si sunt respectiv perpendiculare pe si , fiind situate in acelasi semiplan determinat de dreapta OC.

a)     Determinati a si b.

b)     Calculati

33.Sa se arate ca daca un numar este divizibil cu 197 , atunci dublul numarului rezultat din ultimele doua cifre ale sale , adunat cu de 3 ori numarul ramas prin eliminarea acestor doua ultime cifre , formeaza de asemenea un numar divizibil cu 197.

34. Sa se determine numerele rationale a, b, c, numerele naturale pare k si numerele naturale n care satisfac conditiile a+b+c=12 si

35.Fie numerele nenule a, b, c, d.Stiind ca , sa se calculeze.

36.Se dau semidreptele [OA, [OB, [OC, [OD astfel incat [OB si [OC sunt interioare unghiurilor AOC si respectiv BOD si [OM, [ON, [OP sunt bisectoarele unghiurilor AOB, BOC si respectiv COD. (Punctele B, C, D sunt de aceeasi parte a dreptei OA).

d)     Aratati ca .

e)     Daca , aratati ca .

f)      Daca [ON este si bisectoarea unghiului MOP, dovediti ca .

Problema nr.37

Se considera 10 numere naturale nenule dinstincte cu suma 275,cu proprietatea ca daca produsul a doua numere dintre acestea este multiplu de 5 atunci si suma celor doua numere este multiplu de 5. Atunci :

a) Daca produsul a doua dintre cele 10 numere este multiplu de 5 atunci ambele sunt divizibile cu 5.

b) Sa se determine cele 10 numere stiind ca unul dintre ele este 5.

Problema nr.38

Se considera trei puncte A,B,C distincte situate pe aceeasi dreapta astfel incat B sa fie situat intre A si C.Fie M mijlocul lui [AB] si N mijlocul lui [BC]. Sa se arate ca:

(4p) a)AC=2·MN

(3p) b)Daca segmentele [MN] si [AC] au acelasi mijloc atunci AB=BC.

Problema nr.39

Se considera unghiurile AOB, BOC, COD, DOE, EOF si FOA in jurul punctului O. Unghiurile AOB si DOE sunt opuse la varf, iar m(COD)=m(AOF).

(3p) a) Sa se arate ca m(BOC)=m(EOF).

(4p) b) Daca (OM si(ON sunt bisectoarele unghiurilor AOB, respectiv COD, sa se arate ca m(MON)>90˚.

Problema nr.40

Punctele A, B, C, D sunt situate pe o dreapta d in ordinea data. Este adevarata egalitatea:

Problema nr.41

a) Sa se arate ca intre oricare doua puteri naturale consecutive ale lui 3 se afla cel putin o putere a lui 2.

b) Exista doua puteri naturale consecutive ale lui 3 intre care sa gasim trei puteri distincte ale lui 2?

Problema nr.42

Fie AB si CD doua drepte concurente, Fie bisectoarea unghiului AOC, bisectoarea unghiului POB si bisectoarea unghiului TOD.

a) Daca aflati

b) Daca aflati

Problema nr.43

Fiind dat numarul natural nenul n, demonstrati ca:

Problema nr.44 Fie unghiul ascutit AOB si semidreptele [OC si [OD astfel incat m (DOB) = 90⁰ si           m (COA) = 90⁰, iar interioarele unghiurilor AOC si BOD sunt disjuncte.

a)         Aratati ca unghiurile AOB si COD sunt suplementare;

b)                Daca [OE este bisectoarea unghiului AOB, iar OF este bisectoarea unghiului COD, aratati ca punctele E, O, F sunt coliniare.

c)         Daca [OM este bisectoarea unghiului BOC, sa se arate ca masura unghiului FOM este constanta, indiferent de masura unghiului AOB.

Problema nr.45 Numerele x si y sunt direct proportionale cu 2 si 4, iar z este media aritmetica a numerelor x si y.

a)       Aflati valoarea raportului .

b)       Aflati numerele x, y si z stiind ca suma lor este 36.

Problema nr.46 a) Sa se arate ca media aritmetica a unor numere naturale consecutive este un numar natural daca numarul numerelor naturale este impar .

b) Media aritmetica a unor numere consecutive este 4 . Aflati numerele .

Problema nr.47

a) Se considera numarul natural x = 4ⁿ , unde n IN . Se stie ca x are 90 de cifre .

Sa se demonstreze ca o cifra a lui x se repeta de cel putin 10 ori .

b) Sa se scrie numarul: 100²⁰⁰⁸ , sub forma de suma a patru cuburi perfecte de numere naturale.