Sistemul de scriere Abacul

Sistemul de scriere Abacul

Originea abacului se pierde in negura timpului. La inceput, tabla abacului era o suprafata plana pe care erau trasate linii de-a lungul carora se puteau misca o serie de pietre pentru a se executa operatii aritmetice. Foarte multe civilizatii au folosit abacul pentru realizarea calculelor aritmetice. In Europa, odata cu raspandirea cifrelor arabe si cu aparitia hartiei, majoritatea au renuntat la utilizarea lui. Se stie ca in Italia abacul a disparut in sec.16. In partea de nord a Europei, din cauza nivelului scazut de trai si a conservatorismului, abacul a ramas in uz pana in sec.18.

Avem impresia gresita ca numai cei din orient au folosit abacul, asta pentru ca in Europa a disparut de foarte multa vreme, pe cand in orient mai este folosit si azi. Dupa infrangerea lui Napoleon in campania de invadare a Rusiei (1812), unii dintre soldati s-au intors in Franta aducand ca pe o curiozitate abace rusesti. Nu stiau ca bunicii lor le folosisera in in treburile lor zilnice! Dar nu numai europenii si asiaticii au utilizat abacul, conchistadorii au gasit abace la populatiile de pe actualele teritorii ale Mexicului si Peruului

In forma sa moderna, abacul a fost inventat de chinezi prin secolul 13, de la care a fost preluat de coreeni (sec.15) si de japonezi (sec.17). Se stie ca abacul mai era inca folosit acum 250 de ani in unele zone ale Europei.

Multi dintre termenii moderni din matematica si comert provin din denumirile legate de abac. De exemplu, romanii denumeau pietrele abacului calculi; de aici provin termenul a calcula si derivatele sale calcul, calculator. In Anglia, tabla abacului era denumita, in general, counting board sau, mai simplu, counter. Fireste, fiecare comerciant avea in magazin un counter cu care facea calculul valorii marfurilor vandute. De aici provine termenul modern de contor (pl. contoare).

In Europa, abacul a fost standardizat in sec.13: o tabla pe care erau trasate linii care indicau locul de pozitionare a pietrelor de socotit. Linia de jos era linia unitatilor, urmatoarele linii aveau valoarea de 10 ori mai mare decat a liniei de dedesubt; fiecare spatiu dintre linii avea valoarea de 5 ori mai mare decat a liniei de dedesubt. Nu puteau fi puse mai mult de 4 pietre pe o linie si cel mult una pe un spatiu. Atunci cand numarul de pietre de pe o linie ar fi devenit 5, erau scoase de pe linie si pusa o piatra in spatiul de deasupra acesteia. Daca numarul de pietre de pe un spatiu ar fi devenit 2, erau luate de pe spatiu si pusa o piatra pe linia de deasupra spatiului.

Prin secolul 13 pietrele folosite pentru calcul la abac au capatat forma de moneda. Aceste piese erau cast, aruncate sau apasate pe tabla abacului. In Franta piesele acestea erau numite jetoane din verbul jeter (a arunca).

Abacul chinezesc

Prin anii 1.500 i.C., chinezii au inventat abacul. Acesta era format dintr-un cadru de lemn cu o bara orizontala care poate culisa pe verticala, impartindu-l in doua compartimente.

Pe verticala sunt fixate mai multe bare (de obicei 17) pe care pot culisa 7 bile: doua in partea de sus si cinci in cea de jos. Fiecare bila de jos are valoarea 1; fiecare bila de sus are valoarea de 5. Astfel, pe o bara poate fi reprezentat orice numar cuprins intre 1 si 15. Orice valoare mai mare ca 9 este stocata temporar, ca rezultat intermediar.

In imagine este prezentat un abac chinezesc in care este stocata valoarea 279.

Abacul japonez

La abacul japonez, pe fiecare bara verticala erau 4 bile in partea de jos si una in partea de sus. Probabil ca japonezii au adus abacului ultima perfectionare inainte de desfiintarea sa. (Abacul din imagine stocheaza numarul 279)

Poate ca nu-i lipsit de importanta ca in 1946 (!), un functionar din administratia japoneza folosea pentru calcule aritmetice un abac. S-a organizat un concurs intre acesta si un calculator electric cu probe constand in adunarea sau scaderea unor coloane lungi de numere, inmultirea unor intregi cu 5-12 cifre, impartirea unor intregi cu 5-12 cifre, rezolvarea unor probleme complexe continand toate aceste operatii. A fost batut de masina doar la unele inmultiri.

Rezumat

Sisteme de numeratie

Generalitati

Oamenii au stiut sa socoteasca inainte de a sti sa scrie. Se foloseau de degete de insemnari pe bete sau pe oase, foloseau funia cu noduri, pietricele etc. Dar scrierea si citirea numerelor permit o evaluare rapida a cantitatii de obiecte pe care o reprezinta.

In sistemele de numeratie primitive, pentru a reprezenta un numar de 5 oi se desenau prin repetitie 5 oi. Intr-o faza superioara - cea simbolica -, acelasi lucru era realizat desenandu-se o oaie urmata (precedata) de cinci semne (puncte, linii etc.). Aceasta a dus treptat la desprinderea de concret, la aparitia ideii de numar ca notiune abstracta.

Baza unui sistem de numeratie pozitional este data de numarul de elemente care formeaza alfabetul sistemului de numeratie.

De exemplu, sistemul de numeratie in baza 2 are alfabetul ; sistemul de numeratie in baza 16 are alfabetul .

In decursul timpului, in diferite zone ale globului au fost folosite sisteme de numeratie cu o varietate destul de mare de baze de numeratie: 3, 4, 5, 6, 10, 12, 20, 60. Dar cea mai des folosita a fost baza 10, probabil ca urmare a socotitului pe degete.

Semnele folosite pentru notarea cifrelor sunt destul de variate. Modul lor de grupare pentru reprezentarea unui numar califica un sistem de numeratie ca nepozitional (aditiv, multiplicativ) sau pozitional.

Sistemele aditive

In aceste sisteme exista semne distincte (cifre) pentru fiecare grup de obiecte folosit in procesul numararii. Sistemul de numeratie egiptean este un astfel de sistem. Valoarea unui numar se obtine prin adunarea cifrelor dupa anumite reguli. De exemplu:

Sistemul de numeratie roman este un sistem aditiv-substractiv. Valoarea unui numar se obtine prin adunarea sau scaderea cifrelor dupa anumite reguli. De exemplu, XI = 11, MMCIII = 2103; IV = 4, IX = 9.

Sistemele multiplicative

Un sistem multiplicativ este acela in care pentru aflarea valorii unui numar este necesar sa se inmulteasca anumite perechi de simboluri intr-o maniera asemanatoare sistemului aditiv (sistemul de numeratie chinez).

Sistemele pozitionale

In sistemele de numeratie pozitionale, un simbol din alcatuirea unui numar (cifra) are valoare intrinseca dar si o valoare prin pozitia pe care o ocupa in numar. Aceasta implica existenta unui simbol cu valoare intrinseca nula (zero). In unele sisteme pozitionale (babilonian) in care regulile o permit, este posibil sa se renunte la acest simbol. Regulile folosite in aceste sisteme sunt mai complexe decat in cele aditive. Iata cum se scrie un numar in sistemul zecimal pozitional:

40.323 = 4·10⁴ + 0·10³ + 3·10² + 2·10¹ + 3·10⁰

Trebuie remarcat ca cifra 3 apare de doua ori in scrierea numarului. Cand se afla pe ultimul loc, reprezinta trei obiecte; cand se afla pe antepenultimul loc, reprezinta trei sute de obiecte.

Sistemele de numeratie pozitionale folosesc acelasi sistem de reguli de reprezentare a numerelor; ele difera doar prin alfabetul pe care il utilizeaza si, implicit, prin baza.

Sisteme de numeratie pozitionale

Din cele mai vechi timpuri, s-a pus problema gasirii unor procedee de scriere a numerelor naturale care sa permita o rapida a ordinului lor de marime si elaborarea unor reguli eficiente de efectuare a operatiilor cu acestea. Adoptarea sistemului de numeratie zecimal s-a incheiat abia in secolele 16-17 si reprezinta o etapa importanta in dezvoltarea matematicii.

Un sistem de numeratie este un ansamblu de reguli prin care valorile numerice pot fi scrise prin intermediul simbolurilor, denumite numere.

Relatia de ordine introdusa pe multimeapermite aranjarea numerelor naturale intr-un sir crescator:

0 < 1 < 2 < < n < n - 1 <

Fie u un numar natural mai mare ca 1. Reprezentarea numerelor naturale in sistemul de numeratie de baza u se fundamenteaza pe cateva rezultate care sunt prezentate in continuare:

unde s-a notat cu n - 1 numarul v I, astfel incat v - 1 = n si cu n - 2 numarul w I, astfel incat w - 1 = v.

Demonstratie

Daca a < u, luam n = 0, q₀ = 0, a₀ = a si lema este adevarata.

Daca a0, fie q₀,  a₀ I, astfel incat:

Cum a0, avem q₀ > 0. Exista q₁,  a₁ I, astfel incat:

Daca q₁ = 0, lema este adevarata, cu n = 1. Astfel, exista q₂,  a₂ I, astfel incat:

si asa mai departe.

Daca q_i ą 0, din 1 < u deducem q_i < uq_iuq_i + a_i = q_i-1, deci:

a > q₀ > q₁ > > q_i-1 > q_i >

Exista n astfel incat q_n-1 ą 0 si q_n = 0. Intr-adevar, fie A = si b cel mai mic numar din A. Exista n astfel incat b = q_n-1. Cum q_n < q_n-1 = b, rezulta ca q_n-1 I A, deci q_n = 0. Asadar, 0 < q_n-1 = a_n < u.

Demonstratie

Inductie dupa n. Daca n = 0, atunci a₀ < u. Presupunand afirmatia adevarata pentru n, atunci:

Demonstratie

Sumam egalitatile din enuntul lemei 1 inmultite, respectiv, cu 1, u, u², ,  uⁿ:

a = a_nuⁿ + a_n-1u^n-1 + + a₁u¹ + a₀u⁰,

Fie, de asemenea, numerele naturale m, b_m, b_m-1, , b₀ astfel incat

a = b_mu^m + m_m-1u^m-1 + + b₁u¹ + b₀u⁰,

unde: 0 < b_m < u si 0 b_i < u pentru 0 i m.

Daca n < m, atunci n + 1 m, de unde:

_{Contradictie. Analog se exclude cazul} m < n. Ramane deci adevarat cazul n = m.

Sa aratam ca a_i = b_i, 0 i n. Daca n = 0, atunci a₀ = a = b₀. Presupunem ca n > 0 si ca afirmatia este adevarata pentru n - 1.

Cum a = a₀ + u(a_nu^n-1 + + a₁) = b₀ + u(b_nu^n-1 + + b₁), din teorema impartirii cu rest rezulta a₀ = b₀ si a_nu^n-1 + + a₁ = b_nu^n-1 + + b₁. Folosind ipoteza inductiei, din ultima egalitate deducem si ca a₁ = b₁, a₂ = b₂, , a_n = b_n.

La fiecare numar natural a > 0, asociem secventa finita unic determinata de numere naturale a_na_n-1 a₁a₀, unde a_i < u, 0 i n, a_n ¹ 0 si:

Asadar, a_na_n-1 a₁a₀   a_nuⁿ + a_n-1u^n-1 + + a₁u¹ + a₀u⁰.

Spunem ca prin corespondenta de mai sus se realizeaza scrierea numerelor naturale in sistemul de numeratie cu baza  u.

Daca u este baza sistemului de numeratie, atunci numerele naturale c < u se numesc cifrele sistemului de numeratie cu baza u.

Cel mai raspandit sistem de numeratie este cel cu baza 10, numit sistemul zecimal.

Sistemul de numeratie cu baza 2 se numeste binar. Este limbajul circuitelor electronice.

Sistemul de numeratie cu baza 16 este numit hexazecimal si este folosit in programarea calculatoarelor. Are avantajul ca este relativ apropiat de sistemul zecimal si ca numerele scrise in baza 16 pot fi foarte usor convertite in baza de numeratie 2.

Demonstratie:

Daca m < n, atunci din lema 2 rezulta ca a < u^m+1 uⁿ b, deci a < b. Presupunem ca m = n si a_t < b_t, unde t = max. Avem a_t + 1  b, deci a_t· u^t + u^t b_tu^t. Rezulta ca:

deci a < b.

Reciproc, daca a < b, atunci din prima parte a demonstratiei deducem ca m < n sau  m = n si a_t < b_t, unde t = max.

Exemple:

Daca a = 122311₍₁₀₎, b = 92197₍₁₀₎, deoarece m > n, a > b.

Daca a = 1011000₍₂₎, b = 1010111₍₂₎, deoarece m = n si pentru t = 3, a_t > b_t, rezulta ca a > b.

Demonstratie:

Fie a = c_m-1c_m-2 c₀ cel mai mare numar cu m cifre, reprezentat in baza u. Atunci:

c_i = u - 1 pentru i = 0, , m - 1;

a + 1 = 10 0_(u) , unde numarul are m + 1 cifre.

a + 1 = 1· u^m,

Conform definitiei ** ** ********

a = u^m - 1

Exemplu:

Numarul maxim care se poate reprezenta cu 4 cifre, in baza 10, este 9999, adica 10⁴ - 1.

Conversia dintr-o baza de numeratie oarecare in baza 10

Consideram sistemul de numeratie cu baza u. Un numar rational pozitiv a reprezentat in baza u prin sirul a_(u) = a_n-1u^n-2 u₀, u_-1 u_-m are, prin definitie, valoarea in baza 10:

Exemple:

11021434₍₅₎ = 1·5⁷ + 2·5⁶ + 0·5⁵ + 2·5⁴ + 1·5³ + 4·5² + 3·5¹ + 4·5⁰ =

= 78125 + 31250 +1250 + 125 +100 + 15 + 4 = 110869

Putem sa mai scriem si sub forma:

11021434₍₅₎ = 5·(5·(5·(5·(5·(5·(5·1 +2) + 0) + 2) + 1) + 4) + 3) + 4 =

= 5·(5·(5·(5·(5·(5·7 + 0) + 2) + 1) + 4) + 3) + 4 =

= 5·(5·(5·(5·(5·35 + 2) + 1) + 4) + 3) + 4 =

= 5·(5·(5·(5·177 + 1) + 4) + 3) + 4 =

= 5·(5·(5·886 + 4) + 3) + 4 =

= 5·(5·4434 + 3) + 4 =

= 5·22173 + 4 =

= 110869

De aici se poate desprinde usor un algoritm de conversie:

Se inmulteste baza cu numarul din dreapta, se aduna rezultatul cu numarul din dreapta-sus si se scrie rezultatul pe randul de jos:

40A₍₁₆₎ = 4·16² 0·16¹ + A·16⁰ + = 1024 + 10 = 1034

10,011₍₂₎ = 1·2¹ + 0·2⁰ + 0·2^-1 + 1·2^-2 + 1·2^-3 = 2 + 0,25 + 0,125 = 2,375.

Conversia din baza 10 intr-o baza de numeratie oarecare B

Pentru a trece un numar din baza 10 intr-o alta baza de numeratie uI, u > 1 se aplica algoritmul:

A.1. Se converteste partea intreaga a numarului, conform procedurii A.2. si partea fractionara a numarului conform procedurii A.3.

A.2. Se fac impartiri intregi, succesive la baza u, pornind de la numarul intreg care se converteste;

in urma fiecarei impartiri se obtine un cat si un rest;

noul cat este deimpartitul urmatoarei impartiri intregi;

algoritmul se incheie cand se obtine catul 0;

resturile obtinute, incepand cu ultimul si pana la primul, reprezinta cifrele numarului, de la cea mai semnificativa la cea mai putin semnificativa.

A.3. Se fac inmultiri succesive, cu baza u, incepand cu partea fractionara a numarului care se converteste

partea fractionara a fiecarui produs constituie deinmultitul pentru produsul urmator

partea fractionara a numarului convertit in baza u este reprezentata de succesiunea obtinuta din partile intregi ale tuturor produselor obtinute, incepand cu primul produs, care furnizeaza cifra cea mai semnificativa a rezultatului

algoritmul se incheie cu un rezultat exact atunci cand:

1. se obtine ca produs partial un intreg;

2. se obtine aproximarea dorita a numarului fractionar dupa un anumit numar de pasi.

Demonstratie

A.2. Fie a numarul intreg in baza 10 care se converteste in baza u, conform algoritmului A.2. si fie reprezentarea in baza u obtinuta prin conversie, de forma c_n-1c_n-2 c₀. Algoritmul este corect daca se termina intr-un numar finit de pasi si daca:

Notam cu a₁ catul obtinut dupa prima impartire intreaga si cu c₀ restul acestei impartiri; au loc relatiile:

c₀ = a₀ - a₁·u, a₁ < a₀

Analog, pentru orice i = 1, , n au loc relatiile:

c_i-1 = a_i--1 - a_i·u, a_i < a_i-1

Din sirul de inegalitati a_i < a_i-1 (i = 1, , n) rezulta finitudinea algoritmului.

Fie ultimul rest, c_n-1 = a_n-1 - a_n·u, unde a_n = 0. Rezulta:

a₀ = c₀ + a₁·u = c₀ + c₁·u + a₂·u² = = c₀·u⁰ + c₁·u¹ + c₂·u² + + a_n-1·u^n-1 =  c₀·u⁰ + c₁·u¹ +   + a_n-1·u^n-1 + a_n·uⁿ

A.3. Fie a numarul subunitar in baza 10 care se converteste in baza u conform algoritmului A.3 si fie reprezentarea in baza u, obtinuta prin conversie, de forma 0,c_-1c_-2 c_-m. Algoritmul este corect daca:

Notam cu a₁ partea fractionara a primului produs si cu c_-1 partea intreaga a acestuia. Au loc relatiile:

a₁·u = c_-1 +  a₁  a₁ = c_-1·u^-1 +  a₁·u^-1

Analog, pentru orice i =1, , m au loc relatiile:

a_i-1·u = c_-i +  a_i  a_i-1 = c_-i·u^-i +  a_i·u^-i

Din sirul de egalitati a_i-1 = c_-i·u^-i +  a_i·u^-i (i =1, , m), rezulta:

a₀ = c_-1·u^-1 + c_-2·u^-2 + a₂·u^-2 = c_-1·u^-1 + c_-2·u^-2 + + a_m-1·u^-(m-1) = = c_-1·u^-1 + c_-2·u^-2 + + c_m-1·u^-(m-1) + c_-m·u^-m

Cazul 1: Daca exista un m astfel incat a_m = 0, atunci algoritmul este finit si rezultatul conversiei este exact.

Cazul 2: Este posibil ca numarului rational a₀, reprezentat in baza 10 sa ii corespunda un numar rational 0,c_-1c_-2 c_-m reprezentat in baza u printr-o fractie periodica; in acest caz, algoritmul se incheie atunci cand se determina perioada.

Exemple:

A.2. Conversia numarului 95.244 in baza 5 se obtine astfel:

Rezultatul obtinut este 95.244 = 11021434₍₅₎.

A.3. Conversia numarului 0,7109375 in baza 2 se obtine astfel:

Rezultatul conversiei este 0,1011011₍₂₎.

Conversia din baza u in baza u^k

Pentru conversia unui numar din baza u in baza u^k se aplica algoritmul urmator:

Se grupeaza cifrele numarului in baza u in grupe de cate k elemente, incepand de la marca zecimala la dreapta si la stanga;

valoarea fiecarei grupe, in baza 10, corespunde unei cifre in baza u^k;

numarul in baza u^k este format din cifrele obtinute prin conversiile de la pasul precedent.

Demonstratie:

Fie a numarul intreg, reprezentat in baza u cu m cifre de forma:

a = c_m-1c_m-2 c₀;

Se completeaza lungimea lui a la n cifre, cu n = k · p, si cu a_j = 0 pentru m - 1< j < n. Rezulta:

a = (c₀ · u⁰ + + c_k-1 · u^k-1) + u^k(c_k · u⁰ + + c_2k-1 · u^k-1) + + u^k(p-1) (c_k(p-1) · u⁰ + + c_kp-1 · u^k-1)

Notam:

b₀ = c₀ · u⁰ + + c_k-1· u^k-1

b_p-1 = c_k(p-1) · u⁰ + + c_kp-1 · u^k-1

Pentru orice i = 0, , p - 1, b_i este valoarea zecimala corespunzatoare grupei i, de cate k cifre din alfabetul bazei  u, de forma:

c_k(i-1)  c_ki-2c_ki-1(u).

Din propozitia 2 rezulta ca b_i < u_k pentru orice i = 0, , p - 1, deci b_i < u  pentru orice i = 0, , p - 1.

Rezulta egalitatea:

a = b₀ + b₁ · u_k + b₂ · u_2k + + b_p-1 · u^k(p-1),

care confirma corectitudinea algoritmului.

Exemple:

1) Se cere sa se converteasca numarul 102001121₍₃₎ in baza 9.

Cum 9 = 3², impartim numarul in grupe de cate doua cifre:

102001121₍₃₎ ® 1'02'00'11'21₍₃₎ ® 12047₍₉₎

Convertim fiecare grupa in baza 9:

21₍₃₎ = 2·3¹ + 1·3⁰ = 7₍₉₎

11₍₃₎ = 1·3¹ + 1·3⁰ = 4₍₉₎

00₍₃₎ = 0·3¹ + 0·3⁰ = 0₍₉₎

02₍₃₎ = 0·3¹ + 2·3⁰ = 2₍₉₎

01₍₃₎ = 0·3¹ + 1·3⁰ = 1₍₉₎

Obtinem:

102001121₍₃₎ = 12047₍₉₎

2) Sa se converteasca numarul 1010,01101₍₂₎ in baza 16.

Deoarece 16 = 2⁴, impartim numarul in grupe de cate 4 cifre:

1010,01101₍₂₎ ® 1010,0110'1000₍₂₎

1010₍₂₎ = 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ = 10 = A₍₁₆₎

0110₍₂₎ = 0·2³ + 1·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ = 6₍₁₆₎

1000₍₂₎ = 1·2³ + 0·2² + 0·2¹ + 0·2⁰ = 8₍₁₆₎

Obtinem:

1010,01101₍₂₎ = A,68₍₁₆₎

Conversia din baza u^k in baza u

Pentru conversia unui numar din baza u^k in baza u se aplica algoritmul urmator:

se reprezinta fiecare cifra a numarului din baza u^k in baza u, pe o lungime de k cifre.

reprezentarea numarului in baza u se obtine prin concatenarea grupelor de cate k cifre obtinute la pasul precedent.

Demonstratie:

Fie a = c_n-1 c₀ un numar intreg in baza u^k. Rezulta:

a = c₀ + c₁·u^k + c₂·u^2k + + c_n-1·u^k(n-1);

Cum, pentru orice i  = 0, , n - 1, c_i < u^k, rezulta ca reprezentarea numarului c_i in baza u are cel mult k cifre, deci exista b_{i, k-1}, b_{i, k-2}, , b_{i, 0}, mai mici u^k, astfel incat c_i = b_i,0·u⁰ + + b_i,k-1·u^k-1. Obtinem succesiv:

a = (b_0,0·u⁰ + + b_0,k-1·u^k-1) + (b_1,0·u⁰ + + b_1,k-1·u^k-1)·u^k + + (b_n-1,0·u⁰ + + b_n-1,k-1·u^k-1)·u^k(n-1)

a = (b_0,0·u⁰ + + b_0,k-1·u^k-1) + (b_1,0·u^k + + b_1,k-1·u^2k-1) + + (b_n-1,0·u^kn-k + + b_n-1,k-1·u^kn-1)

Notand c_ij cu d_ki+j, obtinem:

a = d₀· u⁰ + d₁· u¹ + + d_kn-1· u^kn-1,

reprezentarea numarului a in baza u.

Exemplu:

Sa convertim numarul A,68₍₁₆₎ in baza 2. Observam ca 16 = 2⁴, deci vom reprezenta fiecare cifra a sa pe cate 4 cifre binare:

A₍₁₆₎ = 10 = 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ = 1010₍₂₎

6₍₁₆₎ = 6 = 0·2³ + 1·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ = 0110₍₂₎

8₍₁₆₎ = 8 = 1·2³ + 0·2² + 0·2¹ + 0·2⁰ = 1000₍₂₎

Obtinem:

A,68₍₁₆₎ = 1010,0110 1000₍₂₎ = 1010,01101₍₂₎