Blaise Pascal

Dintre contemporanii lui Descartes, nici unul nu a aratat un geniu natural mai bine decat Pascal. Reputatia lui in matematica consta mai mult in ceea ce ar fi putut face decat in ceea ce a facut efectiv, deoarece o lunga perioada din viata a considerat ca datoria lui este de a se concentra asupra exercitiilor religioase.

Blaise Pascal s-a nascut pe 19 iunie 1623 in Clermont si a murit la Paris in 19 august 1662. Tatal lui, un judecator din Clermont, avand la randul sau un anumit renume in stiinta, s-a mutat in Paris in 1631, pentru a-si continua propriile studii pe o parte, si pentru a-si educa unicul sau fiu care dovedise deja abilitati exceptionale. Micul Blaise a fost tinut acasa pentru nu se obosi prea mult si din acelasi motiv educatia lui a fost mai intai restransa la invatarea limbilor straine, neincluzand evident matematica. Acest program a simulat curiozitatea baiatului si, intr-o zi, la doisprezece ani, a intrebat ce este geometria. Invatatorul lui i-a raspuns ca este stiinta construirii figurilor exacte si a determinarii proportiilor dintre diferite parti ale lor. In curand Pascal se apuca de studiat geometria, sacrificandu-si timpul de joaca si in ciuda restrictiilor care ii erau impuse, si in cateva saptamani descopera singur multe proprietati ale figurilor. Cea mai importanta este aceea privitoare la suma unghiurilor unui triunghi care este egala cu doua unghiuri drepte, respectiv 180 de grade. Se pare ca dovada consta simplu in impaturarea unghiurilor peste figura astfel incat varfurile lor sa se intalneasca in centrul cercului inscris in triunghi. O demonstratie similara se poate obtine prin impaturarea unghiurilor astfel incat ele sa se intalneasca pe piciorul perpendicularei duse din varful unghiului cel mai mare pe latura opusa. Impresionat de aceasta demonstratie inteligenta, tatal sau i-a dat o copie a cartii Elementele de Euclid, pe care Pascal o citeste cu interes pana cand o invata.

La varsta de paisprezece ani este admis la intalnirile saptamanale tinute de Roberval, Mersenne, Mydorge si de alti matematicieni francezi. In final din aceste sedinte se naste Academia Franceza. La varsta de saisprezece ani Pascal scrie un eseu despre conice, iar la optsprezece ani construieste prima masina aritmetica, un calculator rudimentar, pe care o va imbunatatii peste opt ani. Scrisorile lui catre Fermat arata ca aproximativ in aceasta perioada se concentra asupra geometriei analitice si fizicii. A repetat si experimentele lui Toricelli.

In 1650 la mijlocul carierei lui stiintifice, Pascal si-a abandonat brusc idealurile lui in favoarea religiei, asa cum zice in Pensées, 'contempleaza maretia si misterul omului'.                                              

In 1653 a trebuit sa administreze mosia tatalui sau. Acum a adoptat iarasi vechile lui ocupatii si a facut cateva experimente asupra presiunii exercitate de lichide si gaze. In aceeasi perioada a inventat triunghiul aritmetic, si impreuna cu Fermat a creat calculul probabilitatilor.

Medita asupra casatoriei cand un accident l-a determinat iarasi sa se concentreze asupra religiei. S-a mutat la Port Royal unde a trait pana in 1662.

Singura lucrare matematica care o mai scrie o a fost un eseu despre cicloida in 1685. Suferea de insomnie si de o durere de dinti cand i-a venit idea si spre surprinderea lui suferinta   i-a trecut. Privind aceasta ca un semn divin a continuat problema, lucrand fara oprire opt zile, si a terminat o lucrare relativ completa despre geometria cicloidei.

Prima lucrare asupra geometriei conicilor, scrisa in 1639, a fost publicata doar in 1779. Conica este o curba plana rezultata din intersectia unui con circular cu un plan. Se pare ca a fost scrisa sub indrumarea lui Desargues. Doua rezultate sunt deopotriva importante si interesante. Primul este o teorema cunoscuta sub numele de Teorema lui Pascal :

Daca un hexagon poate fi inscris intr-o conica atunci punctele de intersectie ale laturilor opuse vor fi colinieare (pe aceiasi dreapta). A doua care i se datoreaza in mare parte lui Desargues spune urmatoarele:

Daca un patrulater poate fi inscris intr-o conica si ducem o dreapta care intersecteaza laturile in A, B ,C respectiv D, si conica in P si Q atunci:

Pascal si-a imbunatatit triunghiul aritmetic in 1653, dar nu exista nici o consemnare a metodei lui pana in 1665. Triunghiul este o figura simpla (ca cele doua si se poate continua la infinit). Fiecare linie este formata din numere egale cu suma numerelor din stanga pozitiei de pe linia precedenta. De exemplu 20=1+3+6+10. Daca asezam triunghiul altfel (ca in dreapta) este mai usor sa vedem ca un numar este egal cu suma celor doua numere de deasupra lui, respectiv suma dintre numarul din stanga si cel de deasupra in prima figura. varful triunghiului fiind 1. Cele doua reguli sunt echivalente.

Numerele unei linii se numesc numere figurate. Primele se numesc numere de ordinul intai, cele din a doua linie numere de ordinul doi, cele din a treia linie numere de ordinul trei s.a.m.d. Se poate usor demonstra ca a m-lea numar de pe al n-lea rand este:  

.

Triunghiul se obtine, in cazul primei figuri, trasand o diagonala in jos din coltul dreapta sus. Numarul pe fiecare diagonala dau coeficientii binomiali al unei dezvoltari, sunt coeficientii binomiali ai binomului lui Newton. De exemplu a cincia diagonala 1, 4, 6, 4, 1 sunt coeficientii binomiali ai dezvoltarii (a+b)4 . Pascal a folosit triunghiul pe de-o parte pentru diferite calcule proprii si pe de alta parte pentru a calcula combinari de m luate cate n pentru cate a gasit formula corecta:

Probabil ca matematician Pascal este cel mai bine cunoscut pentru corespondenta lui cu Fermat din 1657 in care a stabilit principiile probabilitatii. Totul a pornit de la o problema propusa lui Pascal de un jucator numit Chavalier de Méré (Cavalerul Marii). La randul sau acesta i-a transmis-o lui Fermat. Problema era urmatoarea: Doi jucatori de valori egale vreau sa plece de la masa inainte de a termina o partida. Daca se cunoaste scorul (in puncte) si numarul de punctelor pana la care vroiau sa joace (adica numarul turelor daca o tura castigata inseamna un punct) se cere sa se afle in ce proportie trebuie sa imparta miza. Fermat si Pascal au dat acelasi raspuns dar demonstrati diferite. Urmatoarea este demonstratia celui din urma:

Aceasta este metoda mea de a determina partea fiecarui jucator cand, de exemplu, doi jucatori joaca pe trei ture si fiecare au pus 32 de galbeni.

Sa zicem ca primul jucator a castigat doua puncte, iar al doilea unul. Acum trebuie sa joace ultima tura pentru un punct. Daca primul jucator ar castiga ar lua toata miza adica 64 de galbeni, in timp ce daca al doilea ar castiga fiecare ar avea doua puncte si ar trebui impartita miza, adica 32 de galbeni la fiecare. Asadar daca primul jucator ar castiga 64 de galbeni i-ar apartine, daca nu ar lua 32 de galbeni. Atunci daca cei doi jucatori doresc sa se opreasca aici primul ar zice: 'Am asigurat un castig de 32 de galbeni chiar daca pierd tura urmatoare, cat despre ceilalti 32 poate ii voi castiga eu poate tu, sansele sunt egale. Haide sa impartim cei 32 de galbeni ramasi egal iar eu voi lua si pe cei 32 care imi sunt asigurati.' Primul jucator va avea 48 de galbeni iar al doilea 16.

Mai departe sa zicem ca primul jucator a obtinut doua puncte iar al doilea nici unul si sunt pe cale sa mai joace o tura pentru un punct. Daca primul jucator castiga acest punct va castiga si jocul si va lua 64 de galbeni, iar daca al doilea castiga atunci jucatorii vor fi in situatia analizata anterior. Dar, daca nu mai doresc sa joace, primul jucator ar zice: 'Daca mai obtin un punct castig 64 de galbeni, daca pierd tot primesc 48 (ca inainte). Da-mi 48 de galbeni pe care ii am sigur si restul de 16 ii impartim in doua egal cum sansele sunt egale.' Asadar primul jucator ia 56 de galbeni iar al doilea 8.

Si in sfarsit primul jucator are un punct si al doilea nici unul. Daca mai joaca pentru un punct si primul jucator ar castiga s-ar afla in situatia anterioara in care el are dreptul la 56 de galbeni, iar daca al doilea ar castiga fiecare ar avea un punct si castigul ar fi impartit. Dar daca nu ar mai dori sa continue primul ar zice: 'Da-mi 32 de galbeni pe care ii iau sigur, si imparte restul din 56 respectiv 24 (deoarece am deja 32) in doua.' Atunci primul va avea 32+12=44 de galbeni si in consecinta, al doilea va avea 20 de galbeni.

Pascal continua rezolvand probleme asemanatoare cand jocul este castigat de cine obtine m+n puncte. Raspunsul este dat de triunghiul sau aritmetic. Solutia problemei generalizate in care valoarea jucatorilor este diferita poate fi gasita in majoritatea cartilor de algebra si este in concordanta cu raspunsul lui Pascal, desi notatiile pot fi diferite.

Pascal a folosit aceasta noua teorie in al noualea capitol al cartii sale Pensées. El spune urmatoarele: Daca valoarea fericirii eterne este infinita chiar daca probabilitatea ca o viata religioasa sa asigure fericirea eterna este mica, totusi speranta perspectiva, masurata prin produsul celor doua, trebuie sa fie destul de mare pentru a merita sa fi religios. Daca se poate trage vreo concluzie din afirmatia aceasta este neclaritatea obtinuta cand se aplica formule matematice intrebarilor morale ale caror date nu sunt de obicei in sfera stiintelor exacte, de aceea afirmatia nu a fost apreciata pozitiv.

Ultima lucrare matematica a lui a fost Cicloida. in 1658. Cicloida este linia curba trasata de un punct de pe circumferinta unui cerc care se roteste fara alunecare pe o dreapta. In 1630 Galileo a atras atentia asupra acestei forme de altfel gratioase, si sugerase ca arcele podurilor sa fie construite astfel. Patru ani mai tarziu Roberval a aflat aria determinata de cicloida. Descartes nu a apreciat aceasta solutie si l-a provocat la aflarea tangentelor, aceeasi provocare i-a fost trimisa lui Fermat care a rezolvat-o numaidecat. Cateva intrebari au fost puse de alti matematicieni. Acestea se refereau la curba si la suprafata si volumul determinate de cicloida la rotirea in jurul axei, bazei si tangentei. Acestea la un loc cu aflarea pozitiei centrului de greutate al corpurilor solide formate au fost rezolvate de Pascal in 1658. Rezultatele au fost emise ca intrebari spre rezolvare. Wallis reuseste sa raspunda la toate cu exceptia celor legate de centrul de greutate. Solutiile lui Pascal (afectate de metoda indivizibilitatii) seamana cu rezolvarea pe care ar da-o un matematician din zilele noastre cu ajutorul calculului cu integrale. El a obtinut (prin insumare) echivalentul integralelor lui sin?, sin2ф si ф.sinф, o limita fiind 0 sau ½π. De asemenea a investigat geometria spiralei lui Arhimede. Aceste studii, potrivit lui D'Alembert, formeaza o legatura intre geometria lui Arhimede si calcului infinitezimal a lui Newton.

Bibliografie: A short Account of the History of Mathematics

de W. W. Rouse Ball

a patra editie 1908

transcris de D.R. Wilkins

School of Mathematics, Trinity College, Dublin