Constante fizice

Sarcina electronului                                e = q = 1.6 10^-19 C

Permitivitatea spatiului liber                e_o = 8.86 10^-14 F/cm

Tensiune termica (T = 300 K)                                                             k T = 0.0259 eV

Masa electronului liber in repaos m_o = 9.11 10^-31 Kg

Proprietati importante ale principalelor materiale semiconductoare

Nota Valorile sunt orientative, valabile pentru semiconductori in stare pura (nedopati). Mobilitatea scade puternic cu cresterea dopajului.

Relatii utile:

Conditia de neutralitate:        

Echilibru termic:                       

Legea lui Ohm:      

Ecuatiile de transport:

Relatiile lui Einstein:                              

Ecuatiile de continuitate:

La nivel mic de injectie, vitezele nete de recombinare:

2.1. Un monocristal de material semiconductor cu concentratia intrinseca n_i este dopat cu N_A acceptori si N_D donori pe cm³. Sa se calculeze concentratiile de purtatori mobili de sarcina, daca monocristalul se afla la echilibru termic, la temperatura camerei.

Rezolvare. Se presupune valabila ipoteza ionizarii complete a atomilor de impuritate. Se utilizeaza conditia de neutralitate a sarcinii electrice si conditia de echilibru termic:

Sistemul de doua ecuatii de mai sus are doua necunoscute. Presupunem un semiconductor de tip n (deci N_D > N_A). Rezulta:

Solutia generala a ecuatiei de gradul doi este:

Semnul (+) corespunde purtatorilor majoritari si semnul (-) purtatorilor minoritari. Deci:

Cea de a doua relatie pentru p₀ nu poate fi utilizata practic deoarece, in general, cele doua numere care se scad au valori foarte apropiate si eroarea cu care se obtine rezultatul este mare.

In majoritatea cazurilor practice se indeplineste conditia N_D - N_A >> n_i si relatiile de mai sus devin:

In cazul unui semiconductor de tip p (deci N_D < N_A) se procedeaza similar. Daca N_A - N_D >> n_I se obtine:

2.2. Un monocristal de siliciu de tip n se afla la echilibru termic si este dopat cu N_D = 10¹⁶ cm^-3 donori si N_A = 0 cm^-3 acceptori. Sa se calculeze concentratiile de electroni si goluri la T = 300 K.

Rezolvare. Se considera valabila ipoteza ionizarii complete. Deoarece N_D >> n_i = 1.45 10¹⁰ cm^-3. Deci (problema 2.1):

n₀ = 10¹⁶ cm^-3 p₀ = 2.1 10⁴ cm^-3

2.3. Un monocristal de germaniu de tip n se afla la echilibru termic si este dopat cu N_D = 5.0 10¹³ cm^-3 donori si N_A = 0 cm^-3 acceptori. Sa se calculeze concentratiile de electroni si goluri la T = 300 K.

Rezolvare. In cazul germaniului n_i = 2.4 10¹³ cm^-3, deci trebuiesc utilizate relatiile exacte de calcul deduse in problema 2.1. Rezulta:

n₀ = 5.97 10¹³ cm^-3 p₀ = 9.66 10¹² cm^-3

2.4. Un monocristal de siliciu de tip n se afla la echilibru termic si este dopat cu N_D = 10¹⁶ cm^-3 donori si N_A = 3 10¹⁵ cm^-3 acceptori. Sa se calculeze concentratiile de electroni si goluri la T = 300 K.

Raspuns. n₀ = N_D - N_A = 7 10¹⁵ >> n_i.  p₀ = 3 10 ⁴ cm^-3 .

2.5. Sa se calculeze la temperatura camerei, in cazul semiconductorilor puri, rezistivitatea unui monocristal de: a) siliciu; b) germaniu c) GaAs.

Rezolvare. Se utilizeaza relatia:

unde n = p = n_i. Rezulta:

a)   s = 4.25 10^-6 W^-1 cm^-1

b)   s = 2.23 10^-2 W^-1 cm^-1

c)   s = 2.56 10^-9 W^-1 cm^-1

Rezulta ca GaAs este practic un bun izolant (cu aplicatii in circuitele integrate) iar substratele de siliciu pur au o rezistivitate ridicata.

2.6. Sa se calculeze tipul impuritatilor si concentratia lor pentru a obtine la temperatura camerei un monocristal de siliciu cu rezistivitate maxima.

Rezolvare. Datorita diferentei dintre mobilitatile electronilor si golurilor, rezistivitatea maxima (deci conductivitatea minima) nu se obtine pentru semiconductorul intrinsec ci pentru un semiconductor de tip p usor dopat cu acceptori. La echilibru termic:

Rezulta urmatoarea functie de p₀ pentru care trebuie gasit minimul prin derivare:

Solutia este:

Conductivitatea rezulta s = 4.26 10^-6 W^-1 cm^-1 si rezistivitatea r = 2.35 10⁵ W cm.

2.7. Un semiconductor din siliciu compensat de tip n are o conductivitate s = 16 (W cm)^-1 si o concentratie de impuritati acceptoare de N_A = 5 10¹⁵ cm^-3. Considerand mobilitatea independenta de concentratia de impuritati, sa se calculeze concentratia de impuritati donoare la temperatura camerei.

Rezolvare. Semiconductorul este de tip n deci N_D > N_A iar datorita faptului ca conductivitatea este mult mai mare decat cea a semiconductorului intrinsec rezulta N_D - N_A >> n_i. Deci, cu ipoteza ionizarii complete:

Rezulta: N_D = 7.91 10¹⁶ cm^-3.

2.8. Intr-o bara semiconductoare de tip p, concentratia de purtatori variaza liniar intre p(0) > p₀ si p(W) = p₀. Se considera: p(0) = 10³ p₀. Sa se calculeze expresia densitatii de curent de goluri de difuzie.

Raspuns.

a)    

Jonctiunea pn abrupta - Relatii utile:

- diferenta interna de potential:

- largimea regiunii de sarcina spatiala:

- campul electric maxim:        

- caracteristica statica:            

- componenta de difuzie a curentului:           

- componenta de generare-recombinare:

- coeficientul de multiplicare in avalansa:

- rezistenta interna:

- capacitatea de difuzie:

- capacitatea de bariera:

Probleme rezolvate

Inaltimea barierei interne de potential se calculeaza cu relatia:

Cele trei materiale semiconductoare au valori diferite pentru concentratia intrinseca. Rezulta pentru:

- siliciu F_BO = 0.819 V

- germaniu       F_BO = 0.433 V

- GaAs               F_BO = 1.287 V.

Se observa ca diferenta interna de potential este cu atat mai mare cu cat concentratia intrinseca este mai mica, deci largimea benzii interzise este mai mare.

O observatie utila pentru verificarea calculelor de acest tip este aceea ca inaltimea barierei interne de potential creste cu aproximativ 60 mV pentru fiecare ordin de marime al argumentului functiei logaritm.

Trebuie remarcat ca intr-o jonctiune pn exista doua zone distincte, cu dopaje de impuritati diferite, deci trebuiesc calculate patru concentratii de purtatori. In zona n concentratiile sunt:

- purtatori majoritari:

- purtatori minoritari:

In zona n concentratiile sunt:

- purtatori majoritari:

- purtatori minoritari:

Deoarece N_A >> N_D (cazul jonctiunii abrupte asimetrice) largimea regiunii de sarcina spatiala este data de:

Rezulta:

- v_D = 0 V l = l_O = 9.52 10^-5 cm = 0.952 mm

- v_D = V_F = 0.5 V l = 5.078 10^-5 cm = 0.508 mm

- v_D = V_R = 10 V l =3.723 10^-4 cm = 3.723 mm

Largimea regiunii golite este cu atat mai mare cu cat tensiunea inversa aplicata pe jonctiune este mai mare.

Campul electric maxim se calculeaza cu:

Din relatiile:

                        

rezulta pentru jonctiunea abrupta:

si

Se observa ca regiunea de sarcina spatiala se extinde cu precadere in zona n, mai slab dopata. Cazul jonctiunii in care N_A >> N_D (jonctiune asimetrica) se mai noteaza si p⁺n.

Numeric rezulta:

- v_D = 0 V E_M = 1.47 10⁴ V/cm

- v_D = V_F = 0.5 V E_M = 7.84 10³ V/cm

- v_D = V_R = -10 V E_M = 5.746 10⁴ V/cm

Valoarea campului critic la care apare strapungerea depinde atat de tipul semiconductorului, de forma geometrica a jonctiunii, de temperatura cat si de concentratiile de impuritati. Valoarea indicata in problema a fost obtinuta pe baza datelor experimentale pentru siliciu, in conditiile celorlalte date numerice ale problemei.

Rezulta:

Numeric: V_B = 292 V.

Componenta de difuzie a curentului prin dioda a fost calculata pentru jonctiunea pn ideala, la care, printre altele, se neglijau fenomenele de generare-recombinare din regiunea de sarcina spatiala. Densitatea curentului prin structura calculata in aceste conditii are expresia:

Aceasta expresie se poate rescrie inlocuind valorile densitatilor de purtatori minoritari la echilibru termic (calculate la punctul a) ca:

In expresia de mai sus singurele marimi necunoscute sunt lungimile de difuzie ale purtatorilor minoritari. Ele se calculeaza cu:

= 3.54 10^-3 cm = 35.4 mm

= 2.24 10^-3 cm = 22.4 mm

In cazul jonctiunii "groase" se presupune ca L_n si L_p sunt mult mai mici decat grosimea zonelor neutre situate de o parte si de alta a regiunii de sarcina spatiala.

Se obseva ca in cazul jonctiunii abrupte asimetrice (N_A >> N_D), expresia curentului poate fi scrisa:

Valoarea densitatii curentului de difuzie la saturatie este: J_O,d = 1.5 10^-10 A/cm².

Rezulta deci:    - v_D = V_F = 0.5 V J_D = 8.44 10^-2 A/cm².

- v_D = V_R = -10 V J_D = - J_O,d = -1.5 10^-10 A/cm².

In cazul polarizarii in direct a jonctiunii pn, in regiunea de sarcina spatiala concentratia de purtatori mobili de sarcina creste mult peste valoarea de la echilibru termic. In aceasta zona apare fenomenul de recombinare a purtatorilor mobili de sarcina si prin jonctiune va trece o componenta a curentului neglijata la deducerea legii diodei ideale. In cazul polarizarii in invers a jonctiunii concentratiile de purtatori mobili de sarcina sunt sub valorile de la echilibru termic si apare fenomenul de generare a perechilor electron-gol. Si in acest caz apare o componenta suplimentara a curentului care se adauga celei de difuzie.

Expresia densitatii de curent datorata fenomenelor de generare-recombinare este:

Se remarca faptul ca dependenta curentului de tensiunea de polarizare are loc atat direct, prin intermediul functiei exponentiale, cat si indirect, prin intermediul largimii regiunii de sarcina spatiala l (deci trebuiesc utilizate rezultatele obtinute la punctul c).

Pentru V_F = 0.5 V, rezulta: J_D,rec = 1.77 10^-3 A/cm².

Comparand aceasta valoare cu cea obtinuta la punctul f pentru densitatea curentului de difuzie, rezulta ca, pentru siliciu, componenta de recombinare a curentului in direct prin jonctiune reprezinta o abatere importanta de la legea diodei ideale. Datorita dependentei reduse de tensiune prin intermediul largimii regiunii de sarcina spatiala, aceasta abatere va fi cu atat mai importanta cu cat tensiunea de polarizare in direct este mai mica. Aceasta abatere devine neimportanta la tensiuni de polarizare mai mari.

Pentru V_R = 10 V, rezulta: J_D,gen = - 8.64 10^-7 A/cm².

Comparand aceasta valoare cu cea obtinuta la punctul f pentru densitatea curentului de difuzie, rezulta ca componenta de generare a curentului invers este dominanta pentru jonctiunile din siliciu polarizate invers la temperatura camerei (este mai mare cu cateva ordine de marime).

Calculul rezistentei interne de semnal mic (de fapt al conductantei) se face calculand panta caracteristicii statice I/V corespunzatoare punctului static de functionare dat. Tinand cont de punctele f si g, rezulta ca pentru polarizarea in invers a jonctiunii numai componenta de generare depinde de tensiunea aplicata (curentul de difuzie este practic constant la tensiuni inverse mai mari de 3kT/q).

Caracteristica curent de generare-tensiune devine in aceste conditii:

Prin derivare, conductanta de semnal mic se obtine ca:

Deci:

Dependenta de tensiune a largimii regiunii golite este (punctul c):

Dupa cateva calcule simple, rezulta:

Rezultatul final este:

Tinand cont de rezultatele obtinute la punctele b si g, rezulta r_I = 2.48 MW. Rezultatul reprezinta o valoare foarte mare a rezistentei interne a unei jonctiuni polarizate invers, dar aceasta valoare este finita (nu infinita, dupa cum rezulta din legea diodei ideale).

Se calculeaza largimea efectiva W_n a zonei n neutre. Pentru aceasta se utilizeaza calculele facute la punctul c pentru l si observatia de la punctul d (regiunea de sarcina spatiala se extinde practic numai in zona n, mai slab dopata). Rezulta:

=1.277 mm

Deoarece L_p = 22.4 mm >> W_n, rezulta ca formulele utilizat la punctul f nu mai pot fi utilizate in acest caz. Principala modificare care apare este cea a distributiei purtatorilor minoritari din zona n. Cu ipotezele simplificatoare in care a fost dedusa legea diodei ideale, ecuatia diferentiala pentru concentratia de purtatori minoritari in excess p_n^' din zona n neutra este:

Considerand originea x = 0 la jonctiunea metalurgica si sensul pozitiv al axei x spre zona n, conditiile la limita necesare pentru rezolvarea ecuatiei diferentiale se scriu ca:

conditia Schockley

la contactul metalic nu sunt purtatori in exces.

Distributia purtatorilor minoritari in exces este:

Daca W_n >> L_n se obtine distributia exponentiala de la jonctiunea "groasa". Daca W_n << L_n, atunci functia sinus hiperbolic poate fi aproximata:

Sinh (x)   x, daca x   0. Rezulta o distributie liniara de x a purtatorilor minoritari in exces, data de:

Un caz asemanator va fi intalnit in cazul bazei tranzistorului bipolar. Curentul de difuzie al golurilor minoritare din regiunea n se calculeaza la marginea regiunii de sarcina spatiala x = l_n rezultand:

Se observa ca acest rezultat poate fi obtinut din relatia curentului de difuzie de la punctul f (jonctiune "groasa") daca se inlocuieste lungimea de difuzie L_n cu largimea efectiva a regiunii n neutre W_n.

Aceasta ultima relatie este utila la lucrarea de laborator "Regimul static al jonctiunii pn", Tabelul 3. Jonctiunea pn a fost simulata in acel caz in absenta recombinarii purtatorilor de sarcina, deci pentru un timp de viata t_O , deci pentru o valoare infinita a lungimii de difuzie a purtatorilor minoritari.

Capacitatea de bariera se calculeaza cu:

Tinand cont de rezultatul obtinut la punctul c (l = 3.723 10^-4 cm) rezulta: C_b = 27.8 pF.

Deoarece largimea regiunii de sarcina spatiala este mult mai mica decat grosimile zonelor n si p (punctul c), putem considera W_p   W_p,O = 100 mm si W_n   W_n,O = 250 mm. Regiunile neutre se comporta ca niste rezistoare a caror valoare poate fi calculata cu relatia:

Trebuiesc calculate rezistivitatile celor doua zone neutre. La nivel mic de injectie, rezulta:

= 0.156 W.cm              = 6.25 W.cm

Pentru calculul mobilitatilor purtatorilor au fost utilizate relatiile lui Einstein si a fost neglijata dependenta acestora de concentratia de impuritati. Pentru cele doua regiuni neutre rezulta urmatoarele valori ale rezistentelor serie care, la nivel mic de injectie, nu depind de tensiunea de polarizare a jonctiunii:

- zona p: R_p = 0.156 W - zona n: R_p = 15.62 W

Rezistenta serie a structurii rezulta: R_S = 15.78 W

Pentru a estima efectul acestei rezistente asupra functionarii jonctiunii trebuie calculata caderea de tensiune pe rezistenta serie si comparata cu caderea de tensiune pe regiunea de bariera. Utilizand calculele de la punctele f si g pentru V_F  = 0.5 V, rezulta un curent prin dioda I_D   0.844 mA, deci o cadere de tensiune pe rezistenta serie:

R_S I_D = 13.3 mV,

Valoarea obtinuta este neglijabila fata de caderea de tensiune pe jonctiune de 500 mV. Consideram ca efectul rezistentei serie devine semnificativ daca caderea de tensiune pe ea este de 10% din caderea de tensiune pe regiunea de bariera. Daca consideram ca prin structura trece numai curent de difuzie (vezi punctul g), tensiunea dorita se obtine din rezolvarea ecuatiei neliniare:

Cu I_O,d = 3.75 10^-12 A, rezulta V_F = 0.536 V.

Probleme propuse

2.11. Sa se calculeze diferenta interna de potential, largimea regiunii de sarcina spatiala si campul electric maxim pentru o jonctiune pn abrupta din siliciu, aflata la echilibru termic, la T = 300 K, cu dopajele uniforme N_A = 10¹⁸ cm^-3 si a) N_D = 10¹⁵ cm^-3; b) N_D = 10¹⁶ cm^-3; c) N_D = 10¹⁷ cm^-3; d) N_D = 10¹⁸ cm^-3.

Sa se repete calculul pentru cazul germaniului.

2.12. Sa se calculeze diferenta interna de potential, largimea regiunii de sarcina spatiala si campul electric maxim pentru o jonctiune pn abrupta din GaAs, aflata la echilibru termic, la T = 300 K, cu dopajele uniforme N_A = 10¹⁸ cm^-3 si a) N_D = 10¹⁵ cm^-3; b) N_D = 10¹⁶ cm^-3; c) N_D = 10¹⁷ cm^-3; d) N_D = 10¹⁸ cm^-3.

2.13. Se da o jonctiune pn din GaAs abrupta, uniform dopata, la T = 300 K. La echilibru termic numai 20% din largimea regiunii de sarcina spatiala se afla in regiunea p. Bariera interna de potential este f_BO = 1.2 V. Sa se determine: a) dopajele N_A si N_D; b) largimea regiunii de sarcina spatiala l_n si l_p; c) campul electric maxim.

Indicatie. Se pleaca de la conditia l_p = 0.2 l. Rezulta N_A = 4 N_D. Dopajele se calculeaza apoi din valoarea lui f_BO

2.14. O jonctiune abrupta din siliciu, aflata la T = 300 K, are nivelele de dopaj N_A = 5 10¹⁵ cm^-3 si N_D = 10¹⁵ cm^-3. Aria jonctiunii este A_J = 10^-2 cm² si jonctiunea este polarizata la o tensiune inversa V_R = 5 V. Sa se calculeze: a) diferenta interna de potential; b) largimea regiunii de sarcina spatiala; c) campul electric maxim; d) capacitatea totala a jonctiunii.

2.15. Se considera o jonctiune pn uniform dopata din GaAs la T = 300 K. Capacitatea jonctiunii la polarizare zero este C_j(0) iar la o tensiune inversa de 10 V, capacitatea este C_j(10). Raportul dintre aceste capacitati este . La tensiunea inversa de 10 V, largimea regiunii din sarcina spatiala din zona p este de 4 ori mai mica decat largimea regiunii de sarcina spatiala din regiunea n. Sa se calculeze diferenta interna de potential si dopajele din regiunile n si p.

Indicatie. Deoarece 4 l_p = l_n rezulta N_A = 4 N_D. Pentru tensiuni de polarizare mai mici sau egale cu zero, capacitatea jonctiunii este capacitate de bariera, care este invers proportionala cu largimea regiunii de sarcina spatiala. Rezulta: , deci F_BO = 0.9 V si N_D = 2.38 10¹⁷ cm^-3.

2.16. O jonctiune abrupta din siliciu, aflata la T = 300 K, are nivelele de dopaj N_A = 5 10¹⁵ cm^-3 si N_D = 10¹⁵ cm^-3. Constantele de difuzie ale purtatorilor minoritati sunt D_n = 25 cm²/s si D_p = 10 cm²/s. Timpul de viata al purtatorilor de sarcina este . Jonctiunea este polarizata la o tensiune directa V_F = 0.6 V. Sa se calculeze:

a) componenta de difuzie a curentului prin jonctiune;

b) componenta de generare-recombinare a curentului;

c) la ce tensiune componenta de difuzie a curentului egaleaza componenta de generare-recombinare;

d) sa se determine campul electric din regiunea p neutra.

2.17. O jonctiune abrupta din GaAs, aflata la T = 300 K, are nivelele de dopaj N_A = 5 10¹⁵ cm^-3 si N_D = 10¹⁵ cm^-3. Constantele de difuzie ale purtatorilor minoritati sunt D_n = 150 cm²/s si D_p = 7.5 cm²/s. Timpul de viata al purtatorilor de sarcina este . Jonctiunea este polarizata la o tensiune inversa V_R = 10 V. Sa se calculeze:

a) componenta de difuzie a curentului prin jonctiune;

b) componenta de generare-recombinare a curentului.

2.18. O jonctiune abrupta din germaniu, aflata la T = 300 K, are nivelele de dopaj N_A = 5 10¹⁵ cm^-3 si N_D = 5 10¹⁴ cm^-3. Mobilitatile purtatorilor sunt m_n = 3800 cm²/(V.s) si m_p = 1800 cm²/(V.s). Timpul de viata al purtatorilor de sarcina este . Jonctiunea este polarizata la o tensiune inversa V_R = 10 V. Sa se calculeze:

a) componenta de difuzie a curentului prin jonctiune;

b) componenta de generare-recombinare a curentului.

2.19. O jonctiune abrupta din germaniu, aflata la T = 300 K, are nivelele de dopaj N_A = 5 10¹⁵ cm^-3 si N_D = 5 10¹⁴ cm^-3. Mobilitatile purtatorilor sunt m_n = 3800 cm²/(V.s) si m_p = 1800 cm²/(V.s). Timpul de viata al purtatorilor de sarcina este . Jonctiunea este polarizata la o tensiune directa V_F = 0.15 V. Sa se calculeze:

a) componenta de difuzie a curentului prin jonctiune;

b) componenta de generare-recombinare a curentului.

2.20. O jonctiune abrupta pn din siliciu are urmatorii parametrii:

- grosimea zonei n: W_n,O  = 2 mm;

- grosimea zonei p: W_p,O  = 200 mm;

- constantele de difuzie: D_n = 25 cm²/s si D_p = 10 cm²/s;

- rezistivitatea zonei n: r_n = 0.5 W.cm;

- rezistivitatea zonei p: r_p = 0.04 W.cm;

- timpul de viata al purtatorilor: ;

- aria jonctiunii: A_J = 10^-4 cm²;

Sa se calculeze:

a) curentul prin structura la V_R = 10 V;

b) curentul prin structura la V_F = 0.6 V;

c) rezistenta serie a structurii la echilibru termic;

d) capacitatea structurii la echilibru termic si trasati dependenta capacitatii de bariera de tensiunea inversa pe jonctiune.

2.21. Se da o jonctiune pn din GaAs polarizata invers la o tensiune V_R = 5 V. Se cunosc parametrii: N_A = N_D = 10¹⁶ cm^-3; D_n = 200 cm²/s; D_p = 6 cm²/s;

t_n t_p t_O = 10^-8 s; T = 300 K. Sa se calculeze densitatea curentului de difuzie si densitatea curentului de generare. Sa se compare valorile obtinute cu cele corespunzatoare cazului in care jonctiunea este relizata din siliciu.

2.22. O jonctiune abrupta asimetrica p⁺n din siliciu, uniform dopata, este proiectata pentru o tensiune minima de strapungere de V_B = 15 V. Sa se determine concentratia maxima de impuritati a zonei mai slab dopate. Se considera campul electric critic egal cu 4 10⁵ V/cm.