F.D.S.A.

1. Obiectivele

• Studiul fiabilitatii unor sisteme cu schimbare/reinnoire

2. Breviar teoretic

Un sistem cu reinnoire este caracterizat de momentele de reinnoire  si de intervalele intre reinnoiri . Numarul N_t de reinnoiri petrecute intr-un interval precizat (0,t) se constituie ca un proces aleator discret. In ceea ce priveste relatia intre variabilelele aleatoare , independenta statistica reciproca pentru indici diferiti este o ipoteza rationala. Acest fapt permite tratarea in fiecare interval a acelorasi indicatori de fiabilitate. Daca  este functia de fiabilitate pe inervalul  reinnoirile se clasifica dupa relatia intre functiile de fiabilitate pe diferite intervale. Reinnoire propriu-zisa este o reinnoire care aduce sistemul de fiecare data in starea de dinaintea defectarii, adica  pentru orice i. Un asemenea proces se mai numeste si proces de reinnoire simplu.
Intre cazurile mai generale se disting reinnoirile pozitive si reinnoirile negative cu , respectiv .
Daca se noteaza cu T_r variabila aleatoare definita ca durata scursa pana la reinnoirea a r-a si cu N_t numarul de reinnoiri pana la momentul t, atunci, in cazul unui sistem cu reinnoire propriu-zisa, are loc egalitatea de probabilitati

cu alte cuvinte, numarul de reinnoiri produse in intervalul (0,t) este mai mare decat r daca si numai daca durata T_r scursa pana la reinnoirea cu numarul r este inferioara lui t.
Se noteaza cu K_r(t) functia de repartitie a duratei T_r si cu k_r(t) densitatea ei de repartitie. Procesul aleator N_t poate fi exprimat cu ajutorul acestor functii

cu r = 1,2. si K₀(t) = 1 .
Variabila  are ca densitate de repartitie o convolutie multipla de r factori identici

cu transformata Laplace

si

Functia de reinnoire este

si

In domeniul Laplace, pentru reinnoirea simpla

si

3. Metode de rezolvare a referatului

Pentru rezolvarea problemei din referat s-a folosit mediul MATLAB cu ajutorul caruia am reusit sa modelam matematic un sistem cu schimbare/reinnoire cu functia de fiabilitate , aceiasi pentru orice indice i, adica in orice interval X_i dintre doua defectari succesive.
Se admite ca repartitia duratelor de viata pentru sistemul cu reinnoire in intervalul premergator primei reinnoiri este de tipul Weibull

cu parametrii  si , cu p numarul de ordine al studentului in catalogul grupei.
  Solutionarea problemei modelarii consta in simularea Monte Carlo, adica in generarea de durate de viata aleatoare care sa respecte legea de repartitie Weibull si in inlocuirea probabilitatilor diverse cu frecventele relative care tind in probabilitate catre acele probabilitati. Generarea se realizeaza pe calea cunoscuta. Se utilizeaza un generator de numere (pseudo)aleatoare x repartizate uniform in intervalul (0,1) si se rezolva repetat ecuatia in t, F(t) = x, unde

este functia de repartitie Weibull.

4. Rezultate obtinute

In urma simularii folosite s-au obtinut urmatoarele rezultate :

• media duratelor intre doua schimbari succesive : 191,1707
• probabilitatea ca in decurs de 500 de unitati de timp sa se produca trei reinnoiri : p = 26% , 37%, 40% .
• functia de reinnoire H(t) si/sau functia densitate a reinnoirilor h(t)

Graficul functiei de densitate de repartitie f(t)

Graficul functiei de reinnoire H(t)

5. Concluzii

In urma studierii rezultatelor obtinute folosind simularea Monte-Carlo se poate observa ca probabilitatea reinnoirii se modifica la fiecare rulare a simularii datorita faptului ca durata de viata este generata aleator. De asemenea se observa ca media duratelor intre doua schimbari succesive este o functie ce depinde atat de a cat si de b, care difera de la un student la altul.

Am luat in calcule numarul din catalog, ca fiind p=25.