|
|
|
In general, prin <problema> se intelege o dificultate care nu poate fi depasita in mod automat. Procesul de rezolvare a unei probleme poate fi definit ca procesul de identificare a diferentelor dintre starea actuala si starea dorita a unei afaceri si stabilirea actiunilor necesare pentru a rezolva aceasta diferenta. Pentru probleme destul de complicate care sa justifice timpul si efortul unei analize amanuntite, procesul de rezolvare a unei probleme implica parcurgerea urmatorilor pasi:
Identificarea si definirea problemei.
Determinarea unui set de solutii alternative.
Determinarea unui criteriu sau a unor criterii pentru evaluarea alternativelor.
Evaluarea alternativelor.
Alegerea unei alternative.
Implementarea alternativei alese.
Evaluarea rezultatelor si verificarea daca a fost selectata o solutie satisfacatoare.
Luarea deciziilor este un termen in general asociat cu primele cinci etape ale procesului de rezolvare a unei probleme. Astfel, prima etapa in luarea unei decizii este identificarea si definirea problemei, iar ultima etapa este alegerea unei alternative, care de fapt este actul de luare a deciziei (figura II.1.1).
Sa consideram urmatoarea situatie. Un absolvent de facultate isi cauta un serviciu. Ca urmare a cererilor depuse, absolventul primeste mai multe oferte situate in localitati diferite: Bucuresti, Timisoara, Constanta, Brasov. Alternativele pentru acest caz de luare a deciziei sunt:
Acceptarea postului din Bucuresti.
Acceptarea postului din Timisoara.
Acceptarea postului din Constanta.
Acceptarea postului din Brasov.
Urmatorul pas al procesului de luare a deciziei este stabilirea criteriilor ce vor fi folosite in evaluarea alternativelor. Problemele decizionale in care obiectivul este de a gasi cea mai buna solutie in raport cu un singur criteriu se numesc decizii cu un singur obiectiv. Desigur, un criteriu important este salariul, dar pot exista si alte criterii: posibilitatea de avansare, localitatea, posibilitatea de a avea o locuinta. Problemele decizionale in care decizia este luata in functie de mai multe criterii se numesc decizii multicriteriale.
Urmatorul pas este evaluarea fiecarei altenative in raport cu fiecare criteriu. Unele criterii sunt usor de evaluat (cum ar fi salariul), altele pot fi evaluate pe baza unor factori subiectivi (potentialul de avansare, localitatea). In general, la factorii subiectivi, pentru fiecare varianta se acorda un calificativ sau o nota. De foarte multe ori criteriile sunt contradictorii. O alternativa buna prin aplicarea unui criteriu poate sa nu fie la fel de buna prin aplicarea celorlalte criterii.
Pentru evaluarea primului tip de criterii se folosesc metodele cantitative, pentru cel de al doilea tip, metodele calitative.
In abordarea cantitativa analistul se va concentra asupra datelor asociate problemei si va dezvolta un model matematic care va descrie obiectivele, restrictiile sau alte relatii care exista in problema. Ulterior, prin utilizarea metodelor cantitative, analistul va face o alegere in functie de datele problemei.
Analiza calitativa se bazeaza mai mult pe intuitie si experienta. Daca managerul a avut experiente similare, problema este relativ simpla. Daca managerul nu are experienta in probleme similare sau problema este prea complexa, pentru luarea deciziei finale se recomanda metodele cantitative.
Figura II.1.1 Procesul de luare a deciziei
Modelele sunt reprezentari ale unor obiecte sau situatii reale. Ele pot exista in mai multe forme. De exemplu, o macheta a unui avion este o reprezentare a unui avion adevarat. Similar, un camion de jucarie este modelul unui camion adevarat. Aceste doua exemple de modele sunt replici fizice ale obiectelor reale. Folosind terminologia adecvata, ele sunt modele fizice sau modele iconice.
O alta categorie de modele include obiectele care exista in forma fizica, dar nu au acelasi aspect ca si obiectul modelat. Acestea sunt modelele analogice. Cutia de viteze a unui automobil este un model analogic: pozitia acului indica viteza automobilului. Un termometru este un alt model analogic pentru reprezentarea temperaturii.
A treia categorie include acele modele care reprezinta o problema sub forma unui set de relatii matematice. Aceste modele se numesc modele matematice. De exemplu, profitul total obtinut prin vanzarea unui produs poate fi calculat inmultind profitul unitar cu cantitatea vanduta. Daca x reprezinta numarul de unitati vandute, P profitul total, atunci pentru un profit unitar de 1000 lei, modelul matematic care stabileste profitul total in functie de vanzari este P1000*x.
Scopul utilizarii modelelor este realizarea unei interfete cu situatia reala prin studierea si analizarea modelului. De exemplu, un constructor de avioane poate testa un model fizic pentru a verifica caracteristicile de zbor ale unui avion adevarat. Similar, un model matematic poate fi utilizat pentru a analiza ce profit va fi obtinut daca un produs este vandut. Pentru cazul prezentat, daca vor fi vandute 30 de bucati (x30), profitul obtinut va fi de 30*100030000 lei.
Utilizarea modelelor matematice reduce cheltuielile si timpul necesar pentru rezolvarea unei probleme reale. O macheta de avion se construieste mai repede si este mai ieftina decat un avion real. La fel, prin utilizarea modelului matematic, se poate calcula rapid profitul ce poate fi obtinut, fara ca managerul sa produca si sa vanda cele x unitati.
Modelele au si avantajul reducerii riscului asociat, prin experimentarea unei situatii reale. Pentru exemplele prezentate se pot evita greselile de proiectare, care ar putea duce la prabusirea avionului, sau se pot evita deciziile gresite care ar duce la pierderi de milioane de lei.
Concluziile obtinute depind de cat de bine reprezinta modelul situatia reala. Cu cat modelul se apropie mai mult de cazul real, cu atat rezultatele vor fi mai precise.
In continuare vor fi analizate numai modelele matematice. Principalele aspecte abordate se refera la utilizarea metodelor cantitative in procesul de luare a deciziei. Accentul este pus nu pe metodele propriu-zise, ci pe modul in care ele pot fi rezolvate utilizand foile de calcul.
In majoritatea cazurilor in care se incearca rezolvarea unor probleme manageriale se constata ca modul in care este structurata problema conduce la obtinerea unui obiectiv specific (cum ar fi maximizarea unui profit sau minimizarea unui cost). De asemenea, se constata ca de multe ori exista o serie de restrictii sau constrangeri (cum ar fi capacitatea de productie). Succesul folosirii analizei cantitative depinde de acuratetea cu care obiectivul si restrictiile sunt exprimate sub forma de ecuatii si relatii matematice.
Expresia matematica care descrie obiectivul problemei se numeste functie obiectiv. De exemplu, ecuatia P10*x poate fi functia obiectiv a unei firme care incearca sa maximizeze profitul.
Relatiile matematice care descriu constrangerile problemei se numesc restrictii. Daca de exemplu pentru a produce o unitate de produs sunt necesare 5 ore si intr-o saptamana se lucreaza doar 40 de ore, atunci relatia 50*x40 este o restrictie de timp. 5*x reprezinta timpul total necesar pentru a produce x unitati, care trebuie sa fie mai mic sau egal cu cele 40 de ore disponibile.
Problema de decizie este urmatoarea: Cate unitati trebuie produse intr-o saptamana pentru a maximiza profitul? Modelul matematic al acestei probleme este:
Restrictia xŽ0 este necesara deoarece nu se poate fabrica un numar negativ de produse.
Programarea liniara este o metoda de rezolvare a problemelor de luare a deciziei. Urmatoarele tipuri de aplicatii sunt specifice pentru rezolvarea lor cu ajutorul programarii liniare:
Un manager trebuie sa stabileasca pentru perioada urmatoare programul de productie si nivelul stocurilor astfel incat sa fie satisfacuta cererea de pe piata si in acelasi timp vrea sa minimizeze costul total de productie si costurile de stocare.
Un analist financiar trebuie sa selecteze pentru un portofoliu de investitii cea mai buna combinatie de actiuni si obligatiuni. Aceste investitii trebuie selectate astfel incat sa se maximizeze eficienta investitiei.
Un director de marketing trebuie sa stabileasca modul in care va distribui bugetul pentru publicitate in diverse medii: radio, televiziune, ziare si reviste, astfel incat efectul reclamei facute sa fie maxim.
O companie are depozite in cateva orase din tara si primeste comenzi de la clienti din diverse localitati. Se pune problema determinarii cantitatilor care vor fi trimise de la depozite spre clienti astfel incat costurile totale de transport sa fie minimizate.
Acestea sunt doar cateva exemple in care programarea liniara a fost utilizata cu succes, dar lista poate continua. Ce au in comun aceste exemple este faptul ca ele incearca sa minimizeze sau sa maximizeze ceva. In primul exemplu managerul vrea sa minimizeze costurile; in exemplul 2 analistul financiar vrea sa maximizeze eficienta investitiei; in exemplul 3 directorul de marketing trebuie sa maximizeze eficienta reclamei; in exemplul 4 trebuie minimizate cheltuielile de transport. In toate problemele de programare liniara, obiectivul este maximizarea sau minimizarea unor cantitati.
Toate problemele de programare liniara au si o a doua proprietate: restrictiile care limiteaza gradul in care obiectivul poate fi realizat. In exemplul 1 productia este limitata de capacitatea de productie si in acelasi timp trebuie sa satisfaca cererea; in exemplul 2 analistul este limitat de suma disponibila si tipul actiunilor existente; in exemplul 3 directorul de marketing este constrans de bugetul fixat si de disponibilitatea mediilor de reclama; in exemplul 4 cantitatile ce pot fi transportate sunt limitate la disponibilul din fiecare depozit. Deci, restrictiile sunt o alta trasatura generala a fiecarei probleme de programare liniara.
Exemplu
Firma ABC produce o varietate de produse chimice. In cadrul unui proces de productie, pentru a produce doua produse (un aditiv si un solvent) sunt necesare trei tipuri de materii prime. Aditivul este vandut fabricilor de ulei si este folosit la producerea a diverse tipuri de combustibil. Solventul este vandut combinatelor chimice si este utilizat la fabricarea detergentilor. Pentru a fabrica aditivul si solventul cele trei materii prime sunt amestecate in proportiile indicate in tabelul II.1.1.
Produs
Aditiv
Solvent
Material 1
2/5
Material 2
0
1/5
Material 3
3/5
3/10
Tabelul II.1.1 Necesarul de materii prime pentru obtinerea unei tone de adidiv/solvent
Pentru a obtine o tona de aditiv se amesteca 2/5 tone de material 1si 3/5 tone de material 3. O tona de solvent poate fi obtinuta prin amestecarea a tone de material 1, 1/5 tone de material 2 si 3/10 tone de material 3.
Productia este limitata de disponibilitatea celor trei materii prime. In prezent firma dispune de 20 tone de material 1, 5 tone de material 2 si 21 tone de material 3. Prin natura procesului de productie, materiile prime care nu sunt utilizate in procesul de productie curent sunt considerate deseuri.
Fiecare tona de aditiv aduce un profit de 40$ , iar fiecare tona de solvent aduce un profit de 30$.
Managementul firmei ABC, dupa analiza cererii de pe piata, a decis ca preturile stabilite vor determina vanzarea intregii cantitatii produse (aditiv si sovent).
Formularea problemei
Formularea problemei sau modelarea reprezinta procesul de transpunere a problemei intr-un model matematic. Modelarea problemei este o arta care poate fi stapanita prin practica si experienta. Desi fiecare problema are caracteristici unice, multe probleme pot avea trasaturi comune. Ca urmare, pentru incepatori pot fi utile o serie de reguli ce pot fi aplicate pentru formularea unui model, reguli ce vor fi ilustrate in dezvoltarea modelului matematic pentru firma ABC.
Acest exemplu a fost selectat pentru a introduce metoda programarii liniare pentru ca este usor de inteles. In practica apar probleme mai complicate, care necesita o analiza mai profunda pentru a identifica toate aspectele care trebuie incluse in model.
Primul pas este identificarea obiectivului si a restrictiilor. In cazul nostru obiectivul este maximizarea profitului total. Restrictiile se refera la cantitatile de materii prime disponibile, care limiteaza cantitatile de aditiv si solvent ce pot fi produse.
Restrictia 1: cantitatea de material 1 utilizata trebuie sa fie mai mica sau egala cu cantitatea de material 1 disponibila.
Restrictia 2: cantitatea de material 2 utilizata trebuie sa fie mai mica sau egala cu cantitatea de material 2 disponibila.
Restrictia 3: cantitatea de material 3 utilizata trebuie sa fie mai mica sau egala cu cantitatea de material 3 disponibila.
Urmatorul pas este definirea variabilelor de decizie. Cele doua variabile de decizie sunt: numarul de tone de aditiv produse si numarul de tone de solvent produse. Notam cu:
A: cantitatea de aditiv produsa (tone)
S: cantitatea de solvent produsa (tone)
A si S sunt variabile de decizie.
Se scrie obiectivul utilizand variabilele de decizie. Profitul total provine din doua surse: vanzarile de aditiv si vanzarile de solvent. Daca profitul obtinut prin vanzarea unei tone de aditiv este de 40$, atunci prin vanzarea a A tone profitul va fi 40*A. La fel, daca profitul obtinut prin vanzarea unei tone de solvent este de 30$, atunci prin vanzarea a S tone profitul va fi 40*S.
Profitul total 40A 30S
Expresia matematica a obiectivului se numeste functie obiectiv. In cazul nostru obiectivul este maximizarea profitului total, deci functia obiectiv va fi:
Max ( 40A 30S )
Se scriu restrictiile utilizand variabilele de decizie
Restrictia 1. Deoarece o tona de aditiv este produsa folosind 2/5 tone de material 1, cantitatea de material 1 necesara pentru a produce A tone de aditiv este 2/5 * A. Pentru fiecare tona de solvent se folosesc tone de material 1, deci cantitatea de material 1 necesara pentru a produce S tone de solvent este * S. Astfel, cantitatea totala de material 1 necesara este 2/5 * A * S. Cantitatea disponibila de material 1 este de 20 tone, deci transpunerea sub forma de ecuatie a restrictiei 1 este:
2/5 * A * S 20
Restrictia 2. Deoarece la fabricarea aditivului nu este necesar materialul 1 se va lua in lua in calcul doar cantitatea de material 2 utilizata la fabricarea solventului. Pentru fiecare tona de solvent se folosesc 1/5 tone de material 2, deci cantitatea de material 2 necesara pentru a produce S tone de solvent este 1/5 * S. Astfel, cantitatea totala de material 2 necesara este 1/5 * S. Cantitatea disponibila de material 2 este de 5 tone, deci transpunerea sub forma de ecuatie a restrictiei 2 este:
1/5 * S 5
Restrictia 3. Deoarece o tona de aditiv este produsa folosind 3/5 tone de material 3, cantitatea de material 3 necesara pentru a produce A tone de aditiv este 3/5 * A. Pentru fiecare tona de solvent se folosesc 3/10 tone de material 3, deci cantitatea de material 3 necesara pentru a produce S tone de solvent este 3/10 * S. Astfel, cantitatea totala de material 3 necesara este 3/5 * A 3/10 * S. Cantitatea disponibila de material 3 este de 21 tone, deci transpunerea sub forma de ecuatie a restrictiei 3 este:
3/5 * A 3/10 * S 21
Pana acum am specificat relatiile matematice referitoare la constrangerile asociate celor trei materii prime. Mai trebuie oare alte restrictii? Poate firma ABC sa produca un numar negativ de tone de aditiv si solvent? Raspunsul este evident nu. Deci pentru ca variabilele de decizie sa nu aiba valori negative mai sunt necesare doua restrictii:
A Ž0
S Ž0
Modelul matematic al problemei este acum complet. Atat obiectivul cat si restrictiile au fost transformate intr-un set de relatii matematice, set de relatii definit ca model matematic. Modelul matematic complet al problemei este:
Max ( 40A 30S )
2/5 * A * S 20
1/5 * S 5
3/5 * A 3/10 * S 21
AŽ0
SŽ0
Pentru rezolvarea problemei trebuie gasita combinatia optima (de A si S) care sa satisfaca toate restrictiile si in acelasi timp sa conduca la o valoare a functiei obiectiv care sa fie mai mare sau egala decat orice valoare calculata cu o alta solutie posibila.
Daca functia obiectiv si restrictiile sunt functii liniare in raport cu variabilele de decizie (variabilele de decizie apar numai la puterea I), atunci avem o problema de programare liniara.
Pentru rezolvarea problemelor de programare liniara exista mai multe metode analitice: metoda Simplex, metoda grafica. In continuare vom prezenta modul in care pot fi rezolvate problemele de programare liniara utilizand foile de calcul (Microsoft Excel).
