Studiul rezonantei in circuitele electrice de curent alternativ

Studiul rezonantei in circuitele electrice de curent alternativ

1. Notiuni fundamentale.

1.1. Marimi caracteristice curentului alternativ (ca) sinusoidal.

1.2.2.     Variatiile in timp ale parametrilor electrici sunt descrise de rel.1, cu semnificatiile din fig.1.

(1)

unde: U_m, I_m reprezinta amplitudinile tensiunii si curentului, [rad/s] (f-frecventa [Hz], T - perioada [s] ), faza [rad].

Caracterizarea si rezolvarea circuitelor electrice in regim periodic sinusoidal se poate face atat analitic (prin rezolvarea analitica a ecuatiilor circuitului) cat si prin metoda fazorilor.

Fig.1

1.1.2. Valori medii si valori patratice medii (efective, eficace) ale curentilor alternativi sinusoidali:

-Valori medii: prin definitie, valoarea medie este data de: (fig.2): pentru o perioada T, valoarea medie este zero; pentru o semiperioada, valoarea medie are expresia:

(2)

-Valori medii patratice (efective):

Fig. 2     (3)

-Puterea in ca:

aparenta : [VA]; activa: [W];reactiva: [VAR]; (4,5,6)

(- factorul de putere).

Puterilor prezentate le corespund energiile activa [J, kWh] , disipata pe rezistoare, respectiv reactiva [VARh], acumulata in bobine si condensatoare.

1.2. Caracteristici ale elementelor de circuit in ca sinusoidal.

1.2.1. Circuitul cu rezistor ideal (fig.3), in care:

;

Circuitul cu rezistor se caracterizeaza prin :

rezistenta (activa)  si

factorul de putere

Fig.3

1.2.2. Circuitul cu bobina ideala (fig.4). Tensiunea pe bobina si curentul in circuit sunt:

;

fazorial (fig.4c):

unde [Ω] este reactanta inductiva.

defazarea curentului fata de tensiunea aplicata este : (curentul in urma tensiunii).

factorul de putere

Fig.4

1.2.3. Circuitul cu condensator (fig.5).

Tensiunea pe condensator si curentul in circuit sunt date de: si

;

, unde: [Ω] este

reactanta capacitiva.

Fig.5Defazarea curentului fata de tensiunea aplicata

este (curentul in avans fata de tensiune).

factorul de putere

Variatiile parametrilor R, X_L si X_C functie de pulsatie

sunt prezentate in fig.6.

Fig.6

1.2.4. Circuitul RLC serie in ca. (fig.7).

Aplicand circuitului tensiunea rezulta curentul Conform legii a II-a a lui Kirchoff : , respectiv ( sau, cu valori eficace :

(7)

Conform reprezentarii fazoriale din fig.7, se identifica ecuatia : cu care legea lui Ohm devine: (8)

unde : Ω] este impedanta circuitului.

Fig.7 Fig.8

Defazajul dintre tensiune si curent este:

1.2.5. Circuitul RLC paralel in ca. (fig.8).

Cu aceleasi semnificatii ca si la pct. anterior, prin aplicarea legii a I-a a lui Kirchoff : , respectiv ;

(9)

in care: - conductanta [Ω^-1] ; - susceptanta capacitiva [Ω^-1];

-susceptanta inductiva [Ω^-1]; -admitanta [Ω^-1]

Defazajul dintre curent si tensiune: [rad]

1.3. Rezonanta in ca.

Conditia de rezonanta este anularea defazajelor introduse de elementele reactive, care se obtine pentru:

, respectiv

Aceasta egalitate se obtine pentru : , respectiv (10, 11)

unde v₀ f₀ sunt pulsatia si frecventa de rezonanta.

1.3.1. Rezonanta in circuitul RLC serie.

pentru circuitul din fig.6, variatiile impedantei Z, ale rezistentei R si reactantelor X_L si X_C, precum si a unghiului de defazaj w dintre tensiunea aplicata la bornele circuitului si curentul prin circuit sunt prezentate in fig.9. Se observa ca la frecventa (pulsatia) de rezonanta, impedanta circuitului este minima si egala cu R, iar curentul este maxim: . Caderile de tensiune U_{Lr si} U_Cr sunt egale si in opozitie de faza si ele pot fi mult mai mari decat tensiunea de alimentare, drept care rezonanta in circuitul RLC serie se mai numeste si rezonanta de tensiune.

Fig.9. Fig.10.

Se defineste factorul de calitate al circuitului prin ; daca Q>1, in circuit apar supratensiuni pe bobine si condensatoare. Un asemenea circuit poate fi folosit drept filtru "trece banda", prin banda Dv se intelege domeniul de variatie al pulsatiei (frecventei) in jurul valorii de rezonanta, in care curentul scade fata de valoarea maxima de ori(

1.3.2.     Rezonanta in circuitul RLC paralel.

pentru circuitul din fig.8, curentul in circuit, la rezonanta, este: . in aceasta situatie, susceptibilitatile sunt egale: , de unde rezulta (R reprezinta de obicei rezistenta de pierderi echivalenta si in configuratia paralela are o valoare mare). Curentii si sunt egali si in opozitie de faza () si ei pot fi mult mai mari decat curentul . rezonanta in circuitul RLC paralel se mai numeste si rezonanta de curent.

Impedanta grupului LC paralel si corespunzator caderea de tensiune pe acesta sunt prezentate calitativ in fig.10. Acest circuit poate fi folosit drept filtru "opreste banda" (filtru "dop").

Factorul de calitate Q = I_Lr/I U_Lr/U_r.

2. Aplicatii:

1). Se considera schema din fig.7, cu valorile: U=100 Vca; R=500 Ω; L=1/p H; C=1/(4p10⁶) F.

Se cere determinarea prin calcul :

- frecventa de rezonanta f₀ [Hz];

- impedantele X_{Lr si} X_Cr [Ω];

- curentul prin circuit I_r;

- caderile de tensiune U_Rr , U_{Lr si} U_Cr ;

- factorul de calitate al circuitului Q [-] ;

- latimea benzii de trecere Df [Hz].

2). Se realizeaza montajele din fig.11 si fig.12.

Fig.11.Fig.12

Se alimenteaza circuitele cu un semnal cu tensiune constanta si frecventa variabila, de la un generator de semnal si se masoara caderile de tensiune pe elementele de circuit.

- Valorile masurate si cele calculate se inscriu in tabelele 1 si 2, pentru cele doua circuite;

- Se vor trasa variatiile I(f) si U_L(f) in jurul frecventei de rezonanta f_{0 .}

Se vor determina latimile de banda caracteristice celor doua circuite si se vor discuta rezultatele obtinute.

Tabelul 1

Tabelul 2