|
|
|
ATESTAT PROGRAMARE - TURBO PASCAL
Capitolul 1
PREZENTAREA TEHNICII BACKTRAKING
Aceasta tehnica se foloseste in rezolvarea problemelor care indeplinesc simultan urmatoarele conditii:
solutia lor poate fi pusa sub forma unui vector S=x1,x2,x3.xn cu x1IA1,x2IA2,..,xnIAn;
multimile A1,A2,A3.An sunt multimi finite ,iar elementele lor se considera ca se afla intr-o relatie de ordine bine stabilita
nu se dispune de o alta metoda de rezolvare ,mai rapida.
Observatii:
nu pentru toate problemele n este cunoscut de la inceput;
x1,x2,x3.xn pot fi la randul lor vectori;
in multe probleme multimile A1,A2,A3.An coincid;
La intalnirea unei astfel de probleme, daca nu cunoastem aceasta tehnica,suntem tentati sa generam toate elementele produsului cartezian A1 A2 A3. An si fiecare element sa fie testat daca este solutie.Rezolvand problema in acest mod,timpul de executie este atat de mare ,incat poate fi considerat infinit,neavand nici o valoare practica.
De exemplu,daca dorim sa generam toate permutarile unei multimi finite A,nu are rost sa generam produsul cartezian A1A2A3.An pentru ca apoi,sa testam,pentru fiecare element al acestuia,daca este sau nu permutare .
Tehnica Backtracking are la baza un principiu extrem de simplu:
se construieste solutia pas cu pas:x1x2x3.xn;
daca se constata ca,pentru o valoare aleasa,nu avem cum sa ajungem la solutie ,se renunta la acea valoare si se reia cautarea din punctul in care am ramas
Concret:
se alege primul element x1 ce apartine lui A1
presupunand generate elementele x1,x2,x3.xk apartinand multimilor A1 A 2A3.Ak+1 se alege(daca exista) x,primul element disponibil din multimea Ak+1,apar astfel 2 posibilitati:
1) nu s-a gasit un astfel de element,caz in care se reia cautarea considerand generate elementele x1,x2,x3.xk+1 iar aceasta se reia de la urmatorul element al multimii Ak ramas netestat
2) a fost gasit,caz in care se testeaza daca acesta indeplineste anumite coditii de continuare ,aparand astfel alte doua posibilitati:
2.1) le indeplineste,caz in care se testeaza daca s-a ajuns la solutie si apar din nou doua posibilitati
2.1.1) s-a ajuns la solutie ,se tipareste solutia si se reia algoritmul considerand generate elementele x1,x2,.xk(se cauta in continuare un alt element al multimii Ak+1 ramas netestat)
2.1.2) nu s-a ajuns la solutie ,caz in care se reia algoritmulconsiderand generate elementele x1,x2,x3.xk+1 si se cauta un prim element xk+2 I Ak+2
2.2) nu le indeplineste caz in care se reia algoritmul considerand generate elementele x1x2 x3.xk iar elementul xk+1 se cauta intre elementele multimii Ak+1 ramase netestate.
Algoritmul se termina atunci cand nu mai exista nici un element
x1IA1 netestat.
Observatie: tehnica Backtracking are ca rezultat obtinerea tuturor solutiilor problemei.In cazul in care se cere o singura solutie se poate forta oprirea atunci cand a fost gasita.
Pentru usurarea intelegerii metodei,vom prezenta o rutina unica aplicabila oricarei probleme,rutina care utilizeaza notiunea de stiva.Rutina va apela proceduri si functii care au totdeauna acelasi nume si parametri si care din punct de vedere al metodei realizeaza acelasi lucru.Sarcina rezolvitorului este de a scrie explicit pentru fiecare problema in parte procedurile si functiile apelate de Backtraking.Evident,o astfel de abordare conduce la programe lungi.Nimeni nu ne opreste,ca dupa intelegerea metodei sa scriem programe scurte specifice fiecarei probleme in parte(de exemplu scurtam substantial textul doar daca renuntam la utilizarea procedurilor si functiilor)
Prezentam in continuare rutina Backtracking:
k:=1;init(1,st);
while k>0 do
begin
repeat
succesor(as,st,k);
if as then valid(ev,st,k);
until (not as) or (as and ev );
if as then
if solutie(k) then
tipar
else
begin
k:=k+1;
init(k,st);
end
else
k:=k-1;
end;
Observatie:
Problemele rezolvate prin aceasta metoda necesita un timp indelungat.Din acest motiv,este bine sa utilizam metoda numai atunci cand nu avem la dispozitie un alt algoritm mai eficient.Cu toate ca exista probleme pentru care nu se pot elabora alti algoritmi mai eficienti,tehnica Backtracking trebuie aplicata numai in ultima instanta.
CAPITOLUL 2
NOTIUNI DESPRE RECURSIVITATE
Recursivitatea este una din notiunile fundamentale ale informaticii.Utilizarea frecventa a recursivitatii s-a facut dupa anii '80.Multe din limbajele de programare evoluate si mult utilizate(Fortran ,Cobol) nu permiteau scrierea programelor recursive.
In linii mari,recursivitatea este un mecanism general de elaborare a programelor .Ea a aparut din necesitati practice (transcrierea directa a formulelor matematice recursive) si reprezinta acel mecanism prin care un subprogram(procedura,functie) se autoapeleaza.
Daca lucrurile par usor de inteles in cazul functiilor,nu tot atat de simplu este sa aplicam recursivitatea utilizand proceduri.Astfel vom vedea ca putem genera recursiv probleme de genul permutarilor.
Un algoritm recursiv are la baza un mecanism de gandire diferit de cel cu care ne-am obisnuit deja.Atunci cand scriem un algoritm recursiv este suficient sa gandim ce se intampla la un anumit nivel pentru ca la orice nivel se intampla exact acelasi lucru.
Un algoritm recursiv corect trebuie sa se termine ,contrar programul se va termina cu eroare si nu vom primi rezultatul asteptat.Conditia de terminare va fi pusa de programator.
Un rezultat matematic de exceptie afirma ca pentru orice algoritm iterativ exista si unul recursiv echivalent(rezolva aceeasi problema) si invers,pentru orice algoritm recursiv exista si unul iterativ echivalent.
In continuare, raspundem la intrebarea:care este mecanismul intern al limbajului care permite ca un algoritm recursiv sa poata fi implementat?
Pentru a putea implementa recursivitatea ,se foloseste structura de date numita stiva.
Mecanismul unui astfel de program poate fi generalizat cu usurinta pentru obtinerea recursivitatii.Atunci cand o procedura sau o functie se autoapeleaza se depun in stiva:
valorile parametrilor transmisi prin valoare
adresele parametrilor transmisi prin referinta
valorile tuturor variabilelor locale(declarate la nivelul procedurii sau functiei)
Din punct de vedere al modului in care se realizeaza autoapelul ,exista doua tipuri de recursivitate:direct si indirecta.
Recursivitatea directa a fost deja prezentata.Recursivitatea indirecta are loc atunci cand o procedura (functie) apeleaza o alta procedura(functie),care la randul ei o apeleaza pe ea.
Un astfel de exemplu ar fi urmatorul:
Se considera doua valori reale,pozitive a0,b0 si n un numar natural.
Definim sirul:
an=(an-1+bn-1)/2 bn=an-1bn-1
Vom folosi doua functii a(n) si b(n).Fiecare dintre ele se autoapeleaza dar o apeleaza si pe cealalalta.
CAPITOLUL 3
Backtracking recursiv
In capitolul 1 am prezentat rutina de backtracking clasica,nerecursiva.In acest capitol prezentam rutina de backtracking recursiva.Procedurile si functiile folosite sunt in general aceleasi,cu doua mici exceptii:
SUCCESOR nu mai este procedura ci functie booleana ;
rutina backtracking se transforma in procedura,care se apeleaza prin BACK(1)
Principiul de functionare al procedurii BACK,corespunzator unui nivel k este urmatorul:
in situatia in care avem o solutie,o tiparim si revenim pe nivelul anterior
in caz contrar se initializeaza nivelul si se cauta un succesor
cand am gasit unul verificam daca este valid;procedura se autoapeleaza pentru (k+1) , in caz contrar urmand a se continua cautarea succesorului;
daca nu avem succesor,se trece pe nivel inferior (k-1) prin iesirea din procedura BACK
Vom explica in continuare utilizarea backtrackingului recursiv prin generarea permutarilor:
program permutari;
type stiva=array[1..9] of integer;
var st:stiva;
ev:boolean;n,k:integer;
procedure init(k:integer;var st:stiva);
begin
st[k]:=0;
end;
function succesor(var st:stiva;k:integer):boolean;
begin
if st[k]<n then
begin
st[k]:=st[k]+1;
succesor:=true;
end
else succesor:=false;
end;
procedure valid(var ev:boolean;st:stiva;k:integer);
var i:integer;
begin
ev:=true;
for i:=1 to k-1 do
if st[i]=st[k] then ev:=false;
end;
function solutie(k:integer):boolean;
begin
solutie:=(k=n+1);
end;
procedure tipar;
var i:integer;
begin
for i:=1 to n do writeln(st[i]);
writeln;
end;
procedure back(k:integer);
begin
if solutie (k) then tipar
else
begin
init(k,st);
while succesor(st,k) do
begin
valid(ev,st,k);
if ev then back(k+1);
end;
end;
end;
begin
write('n=');readln(n);
back(1);
end.
Desigur orice problema care admite rezolvare backtracking,poate fi rezolvata in acest mod.Insa,de multe ori,aceeasi problema se poate rezolva scriind mai putin,daca renuntam la standardizare.
CAPITOLUL 4
Alocarea dinamica
4.1)Notiuni generale
Din punctul de vedere al unui programator,memoria calculatorului se prezinta ca o succesiune de octeti,fiecare octet avand o adresa binara bine stabilita.Acesti octeti sunt identificati prin numere cuprinse intre 0 si n-1 .Convenim sa numim adresa numarul de ordine al unui octet.Un octet este format din 8 biti.Fiecare bit poate memora fie cifra binara 1, fie cifra binara 0.Diversele tipuri de date cunoscute pana acum(INTEGER,REAL) ocupa 2 sau mai multi octeti consecutivi.Pentru fiecare tip de data cunoscut exista o anumita logica potrivit careia se face memorarea efectiva a continutului.De exemplu, pentru tipul INTEGER,memorarea se face in COD COMPLEMENTAR.Nu ne propunem sa prezentam modul de reprezentare a datelor.Ne marginim numai sa atragem atentia ca o variabila folosita de noi in program are un anumit nume(simbolic),o valoare si o adresa la care o gasim memorata(adresa primului octet din cei p octeti consecutivi ocupati de variabila).In general,in limbajele evoluate nu este necesar ca programatorul sa cunoasca adresa la care se gasesc variabilele cu care lucreaza.
Se cunosc doua forme de alocare a memoriei de catre programator in cadrul limbajului PASCAL:statica si dinamica.
1) Utilizand forma de alocare statica ,variabilele se declara utilizand cuvantul cheie VAR la inceputul programului.
2) Utilizand forma de alocare dinamica,in timpul rularii programului,in functie de necesitati,se aloca memorie suplimentara sau se renunta la ea.
Pentru alocarea dinamica utilizam tipul de date referinta.Se considera secventa de program:
type ref=^inr;
inr=record
nr:integer;
adrurm:ref;
end;
var c:ref;
Aici variabila c este o variabila de tip referinta.Ea retine adrese de inregistrari.La randul ei,o inregistrare are doua campuri:nr,care retine un numar intreg(informatia utila) si adrurm(adresa urmatoare) care retine adresa unei alte inregistrari.
Procedura NEWİ rezerva spatiu(un numar de octeti consecutivi) pentru o inregistrare,adresa primului octet fiind depusa in variabila c.
Presupunem ca variabila c contine adresa unei inregistrari.Procedura DISPOSEİ elibereaza spatiul de memorie afectat acelei inregistrari care avea adresa in c.Cuvantul cheie NIL are semnificatia "nici o adresa".
Observatii:
1)c se refera la adresa care se gaseste in variabila c;
2)c^.nr se refera la campul numeric al inregistrarii care are adresa memorata in variabila c;
3)c^.adrurm semnifica adresa de inregistrare care se gaseste memorata in cadrul inregistrarii care are adresa c;
4)c^.adrurm^.nr semnifica variabila nr care se gaseste in inregistrarea care are adresa plasata in campul adrurm al inregistrarii cu adresa c.
Observatie foarte importanta:spatiul necesar variabilelor alocate dinamic se rezerva intr-o zona de memori,special destinata,numita HEAP(pentru PC compatibila IBM)
4.2) Lista liniara dublu inlantuita
O lista dublu inlantuita este o structura de date de forma:
Operatiile pe care le facem cu o lista dublu inlantuita sunt urmatoarele:
1) creare
2) adaugare la dreapata
3) adaugare la stanga
4) adaugare in interiorul listei
5) stergere din interiorul listei
6) stergere la stanga listei
7) stergere la dreapta listei
8) listare de la stanga la dreapta
9) listare de la dreapta la stanga
4.2.1) Creare
O lista dublu inlantuita se creeaza cu o singura inregistrare .Pentru a ajunge la numarul de inregistrari dorit,utilizam proceduri de adaugare la stanga sau la dreapta.Putem realiza o procedura numita creare care sa realizeze urmatoarele:
citirea informatiei utile
alocarea de spatiu pentru inregistrare
completarea inregistrarii cu informatia utila
completarea adreselor de legatura la stanga si la dreapta cu NIL
variabilele tip referinta b si s vor capata valoarea adresei acestei prime inregistrari(b semnifica adresa inregistrarii cea mai din stanga,s adresa ultimei inregistrari din dreapta);
procedure creare(var b,s :ref);
begin
write('n=');readln(n);
new(b);b^.nr:=n;
b^.as:=nil;b^.ad:=nil;
s:=b;
end;
Procedura se va apela creare(b,s)
4.2.2) Adaugarea la dreapta
Aceasta operatie este realizata de procedura adrr.Pentru adaugarea unei inregistrari se realizeaza urmatoarele operatii:
citirea informatiei utile
alocarea spatiului pentru inregistrare
completarea adresei la dreapta cu NIL
completarea adresei din stanga cu adresa celei mai din dreapta inregistrari(retinute in variabila s)
modificarea campului de adresa la dreapta a inregistrarii din s cu adresa noii inregistrari
s va lua valoarea noii inregistrari,deoarece acesta va fi cea mai din dreapta.
procedure addr( var s:ref);
var d:ref;
begin
write('n=');readln(n);
new(d);d^.nr:=n;
d^.as:=s;d^.ad:=nil;
s^.ad:=d;s:=d;
end;
Procedura se va apela addr(s)
4.2.3) Adaugare in interiorul listei
Aceasta operatie este realizata de procedura includ,care realizeaza urmatoarele operatii:
parcurge lista de la stanga la dreapta cautand inregistrarea cu informatia utila m,in dreapta careia urmeaza sa introducem noua inregistrare
citeste informatia utila
aloca spatiu pentru noua inregistrare
completeaza informatia utila
adresa stanga a noii inregistrari ia valoarea adresei inregistrarii de informatie utila m
adresa stanga a inregistrarii care urma la acest moment inregistrarii cu informatia utila m capata valoarea adresei noii inregistrari
procedure includ(m:integer;b:ref);
var d,e:ref;
begin
d:=b;
while d^.nr<>m do d:=d^.ad;
write('n=');readln(n);
new(e);
e^.nr:=n;
e^.as:=d;
d^.ad^.as:=e;
e^.ad:=d^.ad;
d^.ad:=e;
end;
Procedura se va apela includ(m,b)
4.2.4) Stergerea in interiorul listei
Aceasta operatie este realizata de procedura sterg.Operatiile efectuate de aceasta procedura sunt urmatoarele:
se parcurge lista de la stanga la dreapta pentru a ne pozitiona pe inregistrarea care urmeaza a fi stearsa;
campul de adresa dreapta al inregistrarii care o precede pe aceasta va lua valoarea campului de adresa dreapta al inregistrarii care va fi stearsa
campul de adresa stanga al inregistrarii care urmeaza inregistrarii care va fi stearsa va lua valoarea campului de adresa stanga al inregistrarii pe care o stergem;
se elibereaza spatiul de memorie rezervat inregistrarii care se sterge;
procedure sterg(m:integer;b:ref);
var d:ref;
begin
d:=b;
while d^.nr<>m do d:=d^.ad;
d^.as^.ad:=d^.ad;
d^.ad^.as:=d^.as;
disose(d);
end;
Procedura se va apela sterg(m,b)
4.2.5) Listare de la stanga la dreapta
Aceasta operatie este realizata de procedura listare,procedura care realizeaza urmatoarele operatii:
porneste din stanga listei
atat timp cat nu s-a ajuns la capatul din dreapta al listei,se tipareste informatia utila si se trece la inregistrarea urmatoare;
procedure listare(b:ref);
var d:ref;
begin
d:=b;
while d<>nil do
begin
writeln(d^.nr);
d:=d^.ad;
end;
end;
Procedura se apeleaza listare(b);
CAPITOLUL 5
Enuntul problemei
Fie o permutare a primelor m numere naturale (0<m<10) retinuta in vectorul A.Fiecare element din vector genereaza un numar dupa modelul de mai jos:
Numarul generat de pozitia i va avea ca prima cifra elementul a[i]. Urmatoarea cifra a numarului generat este elementul situat in vectorul A pe pozitia a[i],deci a[a[i]].Cifra care urmeaza este elementul a[a[a[i]]].Procedeul continua pana cand cifra adaugata la numarul generat este chiar i.
pozitia 1 din vector genereaza numarul 421
pozitia 3 din vector genereaza numarul 53
a)Sa se creeze o lista dublu inlantuita care contine ca elemente cele m numere generate ordonate crescator,facandu-se tiparirea acestora.
b)Numerele generate se pot imparti in grupe dupa numarul de cifre pe care le contin.
Sa se genereze toate permutarile numerelor generate, care respecta urmatoarea conditie:
in permutarea considerata solutie se vor regasi numerele din fiecare grupa pe pozitii consecutive.
Datele de intrare se citesc de la tastatura.
Rezultatele vor fi afisate in fisierul "OUT.TXT" astfel:
pe prima linie se vor scrie elementele listei create,separate printr-un spatiu
pe urmatoarele linii cate o permutare generata la punctul b).In cadrul permutarii numerele vor fi de asemenea despartite printr-un spatiu.
pentru intrarea fisierul de iesire va contine
m=4 1 4 23 32
a[1]=1 1 4 23 32
a[2]=3 1 4 32 23
a[3]=2 4 1 23 32
a[4]=4 4 1 32 23
23 32 1 4
23 32 4 1
32 23 1 4
32 23 4 1
CAPITOLUL 6
Explicarea problemei
Vom incerca asadar, inainte de a prezenta rezolvarea problemei sa o explicam cat mai clar si pe larg.De la tastatura se introduce numarul m care reprezinta numarul de elemente ce-l va avea vectorul a cu care vom lucra in continuare(vectorul a reprezinta o permutare a lui m).
Dupa ce introducem de la tastatura elementele vectorului a ,alegem un al doilea vector in care,cu ajutorul instructiunilor repetitive while si for vom insera numerele generate de vectorul a,numere solicitate in enuntul problemei.
Odata introduse in vectorul b,acestea vor fi ordonate printr-ul algoritm simplu precum urmatorul:
for i:=1 to m-1 do
for j:=i+1 to m do
if b[i]>b[j] then
begin
aux:=b[i];
b[i]:=b[j];
b[j]:=aux;
end;
Odata gasite elementele cerute de problema ,vom incerca sa rezolvam punctul a) al acesteia prin introducerea numerelor din vectorul b ,deja ordonate,intr-o lista dublu inlantuita.Despre crearea unei astfel de liste am vorbit insa mai pe larg intr-un capitol anterior(vezi capitolul 4).
Dupa ce am creat aceasta lista ,vom deschide pentru scriere fisierul "out.txt" in care vom lista elementele listei anterior create.Despre pasii realizarii acestei operatii s-a vorbit deasemenea la capitolul 4.
Astfel a fost indeplinita prima cerinta a problemei.
Pentru punctul b) o sa avem nevoie de un alt vector ,cifre,care sa indice numarul de cifre pe care il are fiecare element al vectorului b.Totodata o sa stabilim si numarul de grupe existente,fiecare grupa k continand numerele cu indicii de la li[k] si ls[k].
Urmatorul pas va fi de a construi vectorul apart in care elementele au urmatoarea semnificatie:apart[i] indica numarul grupei careia ii apartine numarul de pe pozitia i din vectorul b.Dupa indeplinirea acestei instructiuni nu ne ramane decat sa dam curs apelarii procedurii recursive rec(0)(observam aici utilizarea unui algoritm backtracking nestandardizat).
Pentru a intelege mai bine programul,vom descrie si subprogramele folosite in acest program.Acestea sunt numai proceduri.
Proceura recurs obtine permutarile elementelor din vectorul b in vectorul yy,verifica daca elementul nu se afla deja pus.Daca da,si grupa careia ii apartine elementul i,apart[i] este aceeasi cu grupa valida la nivelul lng+1 conform permutarii curente a grupelor,scrisa in xx,adica corect[lng+1],se reapeleaza pentru noul nivel.
Procedura bkt construieste vectorul corect cu semnificatia corect[i]--grupa din care trebuie sa faca parte elementul aflat pe pozitia i in permutarea numerelor construita in yy
Procedura rec construieste permutarile numerelor de la 1 la gr in vectorul xx,adica obtine permutarile grupelor.
CAPITOLUL 7
Rezolvarea problemei
program prb_mixta;
type lista=^camp;
camp=record
inf:longint;
ls,ld:lista;
end;
var cifre,a,b,li,ls,apart,corect,xx,yy:array [1..9] of longint;
k,kk,aux,grupa,dist,s,m,i,cifra,gr,j:longint;
prim,ant,x:lista;
dis:boolean;
f:text;
procedure scrie;
begin
for i:=1 to m do
write(f,b[yy[i]],' ');
writeln(f);
end;
procedure recurs(lng:integer);
var i:integer;
begin
if lng=m then scrie
else
for i:=1 to m do
begin
dis :=true;
for j:=1 to lng do
if yy[j]=i then dis:=false;
if dis and (apart[i]=corect[lng+1]) then
begin
yy[lng+1]:=i;
recurs(lng+1);
end;
end;
end;
procedure bkt;
begin
s:=0;
for i:=1 to gr do
begin
grupa:=xx[i];
dist:=ls[grupa]-li[grupa];
for j:=(s+1) to (s+dist) do
corect[j]:=grupa;
s:=s+dist;
end;
recurs(0);
end;
procedure rec(l:integer);
var i:integer ;
begin
if l=gr then bkt
else
for i:=1 to gr do begin
dis:=true;
for j:=1 to l do
if xx[j]=i then dis:=false;
if dis then
begin
xx[l+1]:=i;
rec(l+1);
end;
end;
end;
begin
write('M= ');readln(m);
for i:=1 to m do
begin
write('a[',i,']=');readln(a[i]);
end;
for i:=1 to m do
begin
b[i]:=a[i];
cifra:=a[i];
while (b[i] mod 10) <>i do
begin
b[i]:=b[i]*10+a[cifra];
cifra:=a[cifra];
end;
end;
for i:=1 to m-1 do
for j:=i+1 to m do
if b[i]>b[j] then
begin
aux:=b[i];
b[i]:=b[j];
b[j]:=aux;
end;
new(prim);
prim^.inf:=b[1];
prim^.ls:=nil;
prim^.ld:=nil;
ant:=prim;
for i:=2 to m do
begin
new(x);
x^.inf:=b[i];
x^.ls:=ant;
x^.ld:=nil;
ant^.ld:=x;
ant:=x;
end;
assign(f,'out.txt');rewrite(f);
x:=prim;
while x<>nil do
begin
write(f,x^.inf,' ');
x:=x^.ld;
end;
writeln(f);
for i:=1 to m do
begin
j:=b[i];
cifre[i]:=0;
while j>0 do
begin
cifre[i]:=cifre[i]+1;
j:=j div 10 ;
end;
end;
gr:=0;
k:=1;
repeat
kk:=k;
while (cifre[kk]=cifre[k]) and (kk<=m) do kk:=kk+1;
gr:=gr+1;
li[gr]:=k;
ls[gr]:=kk;
k:=kk;
until k>m;
for i:=1 to gr do
for j:=li[i] to ls[i] do
apart[j]:=i;
rec(0);
close(f);
end.
Biografie:
Tudor Sorin : 'Tehnici de programare'
