Intersectia suprafetelor

Intersectia suprafetelor

a) Intersectia a doua plane

Planul este cea mai simpla si suprafata cea mai des utilizata in tehnica . Fetele plane ale diferitelor obiecte se intersecteaza, generand astfel muchiile acestora. In figura 7 toate muchiile obiectului sunt segmente simplu sau dublu particulare (mai putin 7-8), dar prin intersectia corpului (sectionarea sa ) cu un plan oarecare unele se transforma in segmente de dreapta oarecare.

Rezultatul intersectiei a doua plane este o dreapta. Pentru a o determina sunt necesare doua puncte care sa apartina simultan celor doua plane. Cea mai simpla modalitate de rezolvare a problemei este determinarea urmelor dreptei de intersectie (cu conditia ca planele sa fie definite prin urme).

Fig. 7

In figura 8 este reprezentata spatial si in epura determinarea dreptei D(d,d',d''), (D) [P] ∩ [N] (rezultatul intersectiei planelor [P] si [N]). Dreapta (D) este o orizontala pentru ca apartine planului [N] care este un plan de nivel, toate dreptele pe care le contine planul de nivel fiind orizontale. Dreapta (D) este definita prin urmele sale:

- urma verticala V(v, v', v'') ce rezulta din intersectia urmelor N_V si P_V ale planelor: V s v' (N_V ) ∩ (P_V );

- urma laterala W(w, w', w'') ce rezulta din intersectia urmelor N_W si P_W ale planelor: W s w'' (N_W )∩ (P_W );

Proiectia orizontala a dreptei se obtine unind proiectiile orizontale ale urmelor: (d) h U w. Proiectiile verticala (d') si laterala (d'') se suprapun urmelor planului [N] (pentru ca dreapta (D) apartine planului).

Fig. 8

APLICATIE REZOLVATA

Fie planul oarecare [P] (P_H , P_V , P_W) si planul de capat [Q] (Q_H, Q_V ,Q_W ) reprezentate in figura 9. Sa se determine proiectiile dreptei lor de intersectie (D) [P] ∩ [Q].

Fig. 9

REZOLVARE

Analizand reprezentarea planelor se observa ca toate urmele de acelasi nume se intersecteaza dar cel mai comod este sa se foloseasca doar intersectia urmelor orizontale si a celor verticale. Astfel:

- prin intersectia (P_h ) si (Q_h ) rezulta h - proiectia orizontala a urmei orizontale H a dreptei (D);

- proiectiile h' si h'' apartin axelor (OX) si respectiv (Oy') pentru ca H este un punct in planul orizontal;

- prin intersectia (P_V ) si (Q_V ) rezulta v' - proiectia verticala a urmei verticale V a dreptei (D);

- proiectiile v si v'' se gasesc pe axele (OX) si respectiv (OZ) pentru ca V este un punct in planul vertical.

Proiectiile dreptei rezulta prin unirea proiectiilor de acelasi nume ale urmelor: (d) h U v; (d') h' U v'; (d'') h'' U v''.

b) Sectionarea suprafetelor cu plane simplu si dublu particulare

Rezolvarea problemelor de sectionare a suprafetelor cu plane simplu si dublu particulare este im-portanta deoarece:

in tehnica sectionarea suprafetelor permite construirea formelor pieselor corespunzator necesitatilor;

in desenul tehnic formele interioare ale pieselor se evidentiaza cu ajutorul sectiunilor realizate cu plane simplu si dublu particulare;

in proiectarea asistata de calculator reprezentarile 2D ale pieselor / ansamblelor se obtin prin sectio-narea modelelor 3D ale acestora. Programele respective genereaza sectiuni plane utilizand definirea planului de sectiune prin trei puncte sau prin urma sa sau cu ajutorul unei entitati din acel plan.

Sectionarea unei suprafete cu un plan este o operatie de intersectie intre multimea punctelor care constituie suprafata respectiva si multimea punctelor planului, rezultatul fiind o entitate plana (o dreapta, o curba, un poligon, un cerc, o elipsa etc.) ale carei puncte apartin concomitent planului de sectiune si supra-fetei. Rezolvarea unei probleme de intersectie dintre o suprafata si un plan consta in determinarea unui numar de puncte comune ale celor doua multimi, care sunt suficiente pentru a defini complet entitatea rezultanta. Aceste puncte semnificative rezulta din intersectia cu planul a:

1) muchiilor poliedrului (in cazul sectionarii suprafetelor poliedrale);

2) unora dintre generatoare (in cazul sectionarii suprafetelor cilindro-conice);

3) unor curbe particulare ale suprafetei (in cazul sectionarii suprafetelor de rotatie).

i) Intersectarea suprafetelor poliedrale cu plane simplu si dublu particulare

Rezultatul intersectiei dintre o suprafata poliedrala si un plan este un poligon ale carui laturi sunt dreptele de intersectie dintre fetele poliedrului si planul dat. Asa cum s-a aratat mai sus, daca se determina punctele de intersectie dintre doua muchii ce definesc o fata si planul de sectionare, atunci dreapta de intersectie dintre fata respectiva a poliedrului si plan rezulta prin unirea celor doua puncte, acestea fiind doua dintre varfurile poligonului de sectiune. Deci rezolvarea unei probleme de intersectie dintre o suprafata poliedrala si un plan consta in rezolvarea problemelor de intersectie dintre muchiile poliedrului si plan. In cazul planelor simplu si dublu particulare aceasta rezolvare este foarte simpla (datorita proprietatii de plan proiectant a acestor plane).

APLICATIE REZOLVATA

Fie piramida regulata dreapta MNPQ cu baza un triunghi echilateral MNP situat in planul orizontal si definit prin varfurile M(10, 10, 0), N(55, 10, 0), P(x_P, y_P, 0) ce satisface conditia y_P > y_M (departarea varfului P este mai mare decat departarea varfului M). Inaltimea piramidei este de 53 mm. Sa se reprezinte corpul rest (trunchiul de piramida) care rezulta din sectionarea piramidei cu planul definit de punctele A(20, 5, 40), B(20, 55, 40), C(60, 15, 15).

REZOLVARE

Fig. 10a Fig. 10b

In figura 10a sunt reprezentate piramida MNPQ si placa (ABC) iar in figura 10b este reprezentat corpul rest.

Pozitia bazei este astfel aleasa incat muchia (MN) este un segment fronto-orizontal iar muchiile (NP) si (MP) sunt segmente orizontale; muchiile (MQ) si (NQ) sunt segmente de dreapta oarecare iar muchia (PQ) este un segment de dreapta de profil. Fetele (MPQ) si (NPQ) apartin unor plane oarecare dar fata (MNQ) este un plan paralel cu axa (OX).

Placa (ABC) defineste un plan de capat deoarece proiectiile verticale a', b', c' sunt coliniare si astfel ele definesc urma verticala a planului.

Rezultatul intersectiei piramidei cu planul de capat este un triunghi cu varfurile notate 1-2-3. Varfurile poligonului de sectiune apartin muchiilor piramidei iar laturile sale sunt segmente ce apartin fetelor piramidei.

Rationamentul care permite gasirea varfurilor poligonului de intersectie este urmatorul:

- pentru ca planul de sectionare este un plan de capat, varfurile poligonului de intersectie cautat trebuie sa aiba proiectiile verticale pe urma verticala a planului (deoarece sunt puncte ala planului);

- pentru ca varfurile poligonului de intersectie cautat apartin si muchiilor piramidei, rezulta ca punctele de concurenta dintre urma verticala a planului de capat si proiectiile verticale ale muchiilor sunt proiectiile verticale ale varfurilor poligonului cautat, rezultand astfel punctele notate 1', 2' si 3';

- proiectiile orizontale 1 si 2 trebuie sa apartina proiectiilor orizontale ale muchiilor (MQ) si (NQ), adica segmentelor (mq) si respectiv (nq), rezultand la intersectia acestora cu liniile de ordine verticale din 1' si 2';

- proiectiile laterale 1'' si 2'' se obtin in mod obisnuit (ele trebuind sa rezulte pe proiectiile (m''q'') si (n''q'');

- pentru ca proiectia orizontala a varfului 3 nu se poate obtine direct, se determina mai intai proiectia laterala 3'' ce apartine proiectiei laterala (p''q'') si apoi se determina proiectia ei orizontala 3.

Poligonul 1-2-3 rezultat prin sectionare are laturile vizibile in toate cele trei proiectii daca se analizeaza corpul rest (fig. 10b)..

ii) Intersectarea suprafetelor cilindro-conice cu plane simplu si dublu particulare

1. Suprafete cilindrice

Rezultatul intersectiei dintre o suprafata cilindrica (circulara sau eliptica, dreapta sau oblica) si un plan depinde de orientarea planului in raport cu axa cilindrului. Astfel:

daca planul este paralel cu axa cilindrului rezultatul intersectiei este un patrulater (paralelogram sau dreptunghi) care are doua laturi opuse reprezentand generatoare ale cilindrului si celelalte doua laturi rezultate din intersectia planului cu bazele;

daca planul este concurent cu axa cilindrului, rezultatul intersectiei este o elipsa (sau o elipsa degenerata sub forma de cerc).

Deoarece cazul cel mai frecvent in tehnica este cel al sectionarii suprafetei cilindrice cu un plan concurent cu axa, in continuare se prezinta si se exemplifica algoritmul de determinare grafica a elipsei de sectiune. Etapele de rezolvare sunt:

i) determinarea unei axe a elipsei; ii) determinarea centrului elipsei (ca mijloc al axei deja gasite);

iii) identificarea celei de-a doua axe (dreapta perpendiculara pe prima axa si coplanara cu ea);

iv) gasirea pe suprafata cilindrica a punctelor care reprezinta extremitatile celei de-a doua axe a elipsei.

In cazul intersectiei dintre cilindri si plane simplu sau dublu particulare gasirea elipsei de sectiune este deosebit de usoara deoarece axele ei sunt drepte simplu si dublu particulare.

APLICATIE REZOLVATA

Fie cilindrul circular drept fronto-orizontal de centru C(5, 30, 30), raza 20 mm si inaltime 38 mm. Sa se reprezinte corpul rest rezultat dupa sectionarea cilindrului cu planul placii ABDE si indepartarea partii de cilindru cuprinsa intre plan si planul lateral. Se dau: A(10, 5, 55), B(30, 55, 55), D(30, 55, 5), E(10, 5, 5).

Prin sectionarea cilindrului cu planul placii (concurent cu axa cilindrului) rezulta elipsa 1-2-3-4 ce se proiecteaza deformat pe cele trei plane de proiectie. In figura 11a este prezentata rezolvarea in epura iar figura 11b prezinta corpul rest.

REZOLVARE

Punctele caracteristice ale elipsei (1, 2, 3, 4) rezulta din intersectia generatoarelor de contur aparent ale cilindrului cu planul vertical al placii. Generatoarele de contur aparent ale cilindrului au fost notate cu a b g si d si sunt segmente fronto-orizontale.

i) In proiectia orizontala urma planului vertical al placii intersecteaza generatoarele a si g care se confunda cu axa, rezultand astfel proiectiile confundate ale punctelor 1 si 3 ce definesc una dintre axele elipsei. In spatiu segmentul (1-3) este o dreapta verticala, astfel ca adevarata marime a axei (1-3) se poate masura pe proiectia verticala (1'-3') si este evident ca ea este egala cu diametrul cilindrului (40 mm).

ii) Centrul elipsei O (o, o', o'') este situat pe axa cilindrului (deoarece O reprezinta mijlocul segmentului (1-3) care este un diametru al cilindrului).

Fig. 11a Fig. 11b

iii) Cea de-a doua axa a elipsei este segmentul (2-4) rezultat din intersectia generatoarelor b si d cu planul placii. Acest segment este intr-adevar a doua axa a elipsei deoarece trece prin O si este perpendicular pe (1-3). Perpendicularitatea axelor (1-3) si (2-4) este justificata prin faptul ca (1-3) este o verticala si (2-4) o orizontala. Datorita faptului ca este un segment orizontal adevarata marime a axei (2-4) se masoara pe proiectia sa orizontala.

Vizibilitatea in raport cu planul vertical: arcul elipsei 1'-4'-3' nu este vizibil deoarece punctele sale apartin panzei invizibile a cilindrului.

Vizibilitatea in raport cu planul orizontal: elipsa este complet deformata ca un segment de dreapta si nu se poate analiza vizibilitatea acestuia.

Vizibilitatea in raport cu planul lateral: elipsa este deformata ca un cerc ce coincide cu baza cilindrului si este total invizibila.

2) Suprafete conice

Rezultatul sectionarii unei suprafete conice de rotatie cu un plan depinde de pozitia planului in raport cu generatoarele conului. Sunt posibile situatiile prezentate in tabelul urmator:

Fig. 12                                    Fig. 13

Cazul cel mai des intalnit este cel al sectiunii cu un plan care intersecteaza toate generatoarele. Etapele de rezolvare sunt aceleasi ca in cazul cilindrului intersectat de un plan.

APLICATIE REZOLVATA

Sa se reprezinte corpul rest rezultat din sectionarea unui con circular drept cu un plan fronto-orizontal si indepartarea portiunii ce contine varful conului. Se cunosc urmatoarele date:

- conul are cercul de baza de centru A(25, 5, 25) si diametru d = 40 mm, cuprins intr-un plan de front iar inaltimea lui este segmentul de capat (VA) de lungime 45 mm;

- planul [P] [W] are P_Z (0, 0, 50) si formeaza un unghi de 50 cu [V].

Fig. 14 a                                 Fig. 14 b

REZOLVARE

Planul [P] intersecteaza toate generatoarele conului si deci rezultatul intersectiei este o elipsa, ale carei puncte semnificative (extremitatile axelor) s-au notat cu a b g d in figura 14a. In figura 14b este reprezentat corpul rest.

i) Punctele a si b rezulta din intersectia planului {P] cu generatoarele 1 si 2. Proiectiile lor a si b se obtin direct in proiectia laterala si apoi se determina proiectiile orizontale a b si cele verticale a b Segmentul (ab) este un segment de profil si deci adevarata marime a axei elipsei se determina masurand distanta dintre punctele a si b

ii) Centrul elipsei O(o, o' o'') este reprezentat de mijlocul segmentului (ab

iii) Cea de-a doua axa a elipsei (gd este un segment fronto-orizontal (pentru ca apartine planului [P] si este perpendiculara pe segmentul de profil care constituie axa (ab)). Atunci proiectiile laterale g'' si d sunt confundate cu o''.

iiii) Pentru a determina proiectiile verticale g si d se procedeaza astfel:

- segmentul (gd fiind un segment fronto-orizontal apartine unui plan de front [F] a carui urma laterala F_W este paralela cu (OZ) si se traseaza prin g s d

- din intersectia conului cu planul de front (deci perpendicular pe axa conului, [F] (VA)) rezulta un cerc de raza r care contine si punctele g si d Cunoscand raza r se reprezinta cercul in proiectia verticala;  

- proiectiile verticale g' si d' rezulta la intersectia acestui cerc cu linia de ordine din  g s d iar proiectiile orizontale se determina in mod obisnuit.

Pentru ca (gd) este un segment fronto-orizontal, adevarata marime a segmentului se masoara fie pe proiectia sa orizontala, fie pe proiectia sa verticala.

Elipsa de sectiune se proiecteaza deformat pe planele orizontal si vertical iar in planul lateral se reduce la un segment.

Vizibilitatea in plan vertical: toate punctele elipsei sunt vizibile.

Vizibilitatea in plan orizontal: sunt invizibile punctele apartinand panzei invizibile a conului.

Vizibilitatea in plan lateral: nu este semnificativa.

BIBLIOGRAFIE

1. VRACA I. DESEN INDUSTRIAL Editura Tehnica Bucuresti 1984 (Cap. 7 Reprezentarea, sectionarea si intersectarea corpurilor geometrice uzuale pag. 70 - 75)

2. VASILESCU E. si colectiv DESEN TEHNIC INDUSTRIAL (Elemente de proiectare) Editura Tehnica 1994 Cap. 2 Generarea si reprezentarea suprafetelor tehnice pag. 26 - 35)