Rezonanta dipolilor

Rezonanta dipolilor

1. Definitii si exemple

Exista doua definitii ale rezonantei: prima se foloseste in electroenergetica, a doua se utilizeaza la circuitele electronice.

Definitia 1 Un dipol de c.a. este la rezonanta daca absoarbe pe la borne o putere reactiva nula,

adica Q_abs=UI sinj = 0.

Deci la rezonanta defazajul j dintre U si I este nul (sinj = 0 T j = 0). Daca impedanta echivalenta la bornele dipolului este Z=R+jX, Q=XI =0 TX = 0 deci la rezonanta reactanta echivalenta este nula si dipolul are o comportare rezistiva la borne.

Definitia 2 a) Se considera la bornele dipolului o sursa de tensiune cu pulsatie variabila si valoare efectiva constanta.. Pulsatiile de rezonanta sunt cele pentru care I(w) are maxime si minime.

Exemplu

- dipolul este la rezonanta pentru pulsatiile w₁ w₂ w₃ w₄ w₅

- in cazul maximelor de curent (w₁ w₃ w₅ ) avem rezonanta de tensiune,

- in cazul minimelor de curent (w₂ w₄) avem rezonanta de curent.

Se observa ca deoarece I = Y U si U = ct, curba Y (w) are aceeasi alura cu I (w

b) Se considera la bornele dipolului o sursa de curent cu pulsatie variabila si valoare efectiva constanta.. Pulsatiile de rezonanta sunt cele pentru care U(w) are maxime si minime.

Exemplu   

- dipolul este la rezonanta pentru pulsatiile w'₁ w'₂ w'₃ w'₄, w'₅

- in cazul minimelor de tensiune (w'₁ w'₃ w'₅) avem rezonanta de tensiune,

- in cazul maximelor de tensiune (w'₂ w'₄) avem rezonanta de curent.

Deoarece U = Z I  si I = ct, curba Z(w) are aceeasi alura cu U(w

Observatii

i) cele doua definitii ale rezonantei nu duc in general la aceleasi pulsatii de rezonanta

ii) rezonanta de tensiune are loc la pulsatiile pentru care Y(w) are maxime locale si deci Z(w)=1/ Y(w) are minime locale

iii) rezonanta de curent are loc la pulsatiile pentru care Y(w) are minime locale si deci Z(w)=1/ Y(w) are maxime locale.

Exemple. a)

Se calculeaza puterea aparenta complexa S = UI* si se anuleaza puterea reactiva obtinandu-se pulsatiile de rezonanta dupa definitia 1: ; se observa ca daca R 0

atunci w² . Se calculeaza minimele si maximele lui I(w) respectiv ale lui Z(w

si are solutiile

(daca R 0 atunci w² ). Pulsatiile de rezonanta obtinute dupa cele doua definitii nu sunt aceleasi.

b) Impedanta complexa a circuitului RLC serie este . Rezulta

. Dupa prima definitie, pulsatia de rezonanta corespunde lui X=0 deci . Dupa a doua definitie, se calculeaza si se obtine aceeasi valoare pentru w_{0 .} Daca U=ct in raport cu w, la rezonanta I ia valoarea maxima deoarece Z ia valoarea minima Z(w₀)=R.. Pentru acest circuit U_c(w₀)=|X_c|I= U_L(w₀)=|X_L|I si U_c(w₀)= -U_L(w₀) deci U(w₀)=U_R(w₀) +U_C(w₀) + U_L(w₀)=U_R(w₀). Este posibil ca la rezonanta si in jurul pulsatiei de rezonanta U_C si U_L sa aiba valori mai mari decat tensiunea U a sursei de alimentare. Se noteaza cu factorul de calitate al circuitului unde U_L, U_C, U_R se considera la rezonanta. Daca Q₀ >1 (), tensiunea bobinei si cea a condensatorului depasesc tensiunea sursei de alimentare.

c) Circuitul RLC paralel are propietati selective in frecventa duale celui RLC serie.

Utilizand ambele definitii se obtine aceeasi pulsatie de rezonanta a acesui circuit . La rezonanta deci Y are valoarea minima. Daca U=ct in raport cu w, la rezonanta I ia valoarea minima deoarece I=YU. Pentru acest circuit I_c w₀)=U/|X_c|= I_L(w₀)=U/|X_L| si I_c w₀)= -I_L(w₀) deci I(w₀)=I_R(w₀) +I_C(w₀) + I_L(w₀)=I_R(w₀). Este posibil ca la rezonanta si in jurul pulsatiei de rezonanta I_C si I_L sa aiba valori mai mari decat curentul I prin sursa de alimentare. Se noteaza cu Q₀ factorul de calitate unde I_L, I_C, I_R se considera la rezonanta. Daca Q₀ >1 (),curentul bobinei si al condensatorului depasesc curentul total.

2. Aplicatii tehnice ale rezonantei

a)Compensarea factorului de putere Presupunem ca avem o linie de transport al energiei electrice la capatul careia este conectat consumatorul inductiv (asa cum sunt majoritatea consumatorilor energetici) din figura a..

Curentul absorbit de consumator este : deci si cosj =.

Se conecteaza un condensator in paralel cu consumatorul astfel incat (circuitul b). In acest caz avem un circuit RLC derivatie la rezonanta a carui impedanta de intrare este Z=R si curentul absorbit de receptor este . Puterea reactiva absorbita de consumatorul inductiv in paralel cu condensatorul C este nula, si pierderile de putere activa pe linia de transport (de rezistenta r ) vor fi minime : DP'_linie = rI'² < DP_linie= rI². In acest caz factorul de putere cosj'=1 si avem o compensare totala a factorului de putere.

Consumatorii industriali nu au tot timpul aceiasi parametri (se opresc anumite utilaje, in anumite zile nu se lucreaza, etc). Pentru a nu se ajunge la functionarea in regim capacitiv (care produce efecte nedorite in sistem) mentinand pierderile de putere pe linie la un nivel rezonabil se face o compensare partiala a factorului de putere (de exemplu cosj'=0,92). In acest caz calculul capacitatii condensatorului care se leaga in paralel cu consumatorul inductiv se face astfel: diferenta intre puterea reactiva absorbita de consumatorul necompensat Q=UIsinj si cea absorbita de consumatorul compensat partial Q'=UIsinj' este absorbita de condensator (Q_C=wCU²). Exprimand puterile reactive in functie de puterea activa P absorbita de consumator (Q=Ptgj, Q'=Ptgj') rezulta ; in acest calcul se considera ca U nu se modifica prin conectarea condensatorului.

b) Montaje Boucherot

Se considera cele doua circuite din figura de mai jos. Daca parametrii bobinei si condensatorului indeplinesc conditia de rezonanta (w² LC = 1) atunci curentul prin impedanta Z are valoarea U/wL pentru primul circuit si UwC pentru al doilea circuit, deci este independent de valoarea lui Z .

Aceasta proprietate se poate verifica foarte usor.

c)Circuite de rezistenta constanta

Impedanta de intrare intr-un astfel de circuit nu depinde de frecventa, desi circuitul contine si elemente reactive. Cele doua circuite din figura de mai jos au Z=R atunci cand parametrii

indeplinesc conditia: R² = L/C. Verificarea acestei propietati este un exercitiu simplu.